Opción B · Ejercicio 4. Considera los puntos A(1,1,1), B(0,-2,2), C(-1,0,2) y D(2,-1,-2). a) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D. b) [1,5 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano determinado por los puntos A, B y C.

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2017 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera los puntos

A(1,1,1)

B(0,-2,2)

C(-1,0,2)

D(2,-1,-2)

.

a) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro de vértices

A

B

C

D

.

b) [1,5 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por

D

y es perpendicular al plano determinado por los puntos

A

B

C

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (-1,-3,1), \quad \vec{AC} = (-2,-1,1), \quad \vec{AD} = (1,-2,-3)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \bigl[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr] = 15 \;\Longrightarrow\; V = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{n} = \vec{AB}\times\vec{AC} \parallel (2,1,5) \;\Longrightarrow\; \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z+2}{5}\;}

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Estrategia

Los dos apartados se apoyan en los mismos tres vectores desde

A

a) El volumen del tetraedro es un sexto del valor absoluto del producto mixto $\bigl[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr]$ .
b) El plano $ABC$ tiene por normal $\vec{AB}\times\vec{AC}$ , y una recta perpendicular al plano tiene ese mismo vector como director.

Como el mixto sale distinto de cero, los cuatro puntos no son coplanarios y el tetraedro existe de verdad.

Desarrollo

Los vectores desde $A$ .

\vec{AB} = (-1,\, -3,\, 1), \qquad \vec{AC} = (-2,\, -1,\, 1), \qquad \vec{AD} = (1,\, -2,\, -3)

a) Producto mixto.

\bigl[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} -1 & -3 & \phantom{-}1 \\ -2 & -1 & \phantom{-}1 \\ \phantom{-}1 & -2 & -3\end{array}\right|

Desarrollando por la primera fila:

= -1\bigl[3 + 2\bigr] + 3\bigl[6 - 1\bigr] + 1\bigl[4 + 1\bigr] = -5 + 15 + 5 = 15

Volumen.

V = \frac{1}{6}\bigl|15\bigr| = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2{,}5 \ \text{unidades cúbicas}

(Al no anularse el mixto, los cuatro puntos no son coplanarios: el tetraedro es no degenerado.)

b) Normal del plano $ABC$ .

\vec{n} = \vec{AB}\times\vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -3 & 1 \\ -2 & -1 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (-3)(1) - (1)(-1) = -3 + 1 = -2

\vec{j}: \; -\Bigl[(-1)(1) - (1)(-2)\Bigr] = -(-1 + 2) = -1

\vec{k}: \; (-1)(-1) - (-3)(-2) = 1 - 6 = -5

\vec{n} = (-2,\, -1,\, -5) \;\parallel\; (2,\, 1,\, 5)

La recta pedida. Pasa por

D(2,-1,-2)

con director

\vec{n}

r \equiv (x,y,z) = (2,\, -1,\, -2) + t\,(2,\, 1,\, 5)

o en forma continua

r \equiv \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z+2}{5}

Comprobación. El director debe ser ortogonal a los dos vectores del plano:

(2,1,5)\cdot\vec{AB} = -2 - 3 + 5 = 0 \;\checkmark \qquad (2,1,5)\cdot\vec{AC} = -4 - 1 + 5 = 0 \;\checkmark

(Y el plano $ABC$ es $\;2x + y + 5z - 8 = 0$ , en el que $D$ no está: $4 - 1 - 10 - 8 = -15 \neq 0$ , coherente con que el volumen no sea nulo.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No olvides el $\tfrac16$ del tetraedro: el módulo del producto mixto por sí solo es el volumen del paralelepípedo. Es el error más repetido del bloque de Geometría.

Los tres vectores del mixto deben salir del mismo vértice (aquí, de $A$ ). Mezclar $\vec{AB}$ con $\vec{BC}$ y $\vec{CD}$ da un número distinto y sin significado.

"Recta perpendicular al plano" $\Rightarrow$ su director es el normal del plano. Es la situación opuesta a "recta contenida en el plano" o "paralela a él", donde el director sería ortogonal al normal. Comprobar los dos productos escalares al final cierra el ejercicio.