Opción B · Ejercicio 4. Considera los puntos A(1,1,1), B(0,-2,2), C(-1,0,2) y D(2,-1,2). a) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D. b) [1,5 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano que contiene a los puntos A, B y C.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2010 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera los puntos

A(1,1,1)

B(0,-2,2)

C(-1,0,2)

D(2,-1,2)

.

a) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro de vértices

A

B

C

D

.

b) [1,5 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por $D$ y es perpendicular al plano que contiene a los puntos

A

B

C

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (-1,-3,1), \ \vec{AC} = (-2,-1,1), \ \vec{AD} = (1,-2,1)\;}

\boxed{\;\det\bigl(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr) = -5 \;\Longrightarrow\; V = \frac{|-5|}{6} = \frac56\;}

\boxed{\;\vec n = \vec{AB}\times\vec{AC} = (-2,-1,-5)\sim(2,1,5)\;}

\boxed{\;s\colon (x,y,z) = (2,-1,2)+t\,(2,1,5)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados usan los mismos vectores

\vec{AB}

\vec{AC}

\vec{AD}

a) Volumen del tetraedro $=\dfrac16\bigl|\det\bigl(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr)\bigr|$ (un sexto del producto mixto, no la mitad).
b) "Perpendicular al plano $ABC$ " $\Rightarrow$ el director de la recta es el normal del plano:

\vec w = \vec{AB}\times\vec{AC}

(Que el volumen salga distinto de cero garantiza además que $A$ , $B$ , $C$ y $D$ no son coplanarios, así que el tetraedro existe de verdad.)

Desarrollo

Los vectores desde $A$ .

\vec{AB} = (-1,\; -3,\; 1) \qquad \vec{AC} = (-2,\; -1,\; 1) \qquad \vec{AD} = (1,\; -2,\; 1)

a) El producto mixto.

\det\bigl(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr) = \begin{vmatrix} -1 & -3 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 1\end{vmatrix}

Desarrollando por la primera fila:

= -1\bigl[(-1)(1)-(1)(-2)\bigr]+3\bigl[(-2)(1)-(1)(1)\bigr]+1\bigl[(-2)(-2)-(-1)(1)\bigr]

= -1\,(-1+2)+3\,(-2-1)+1\,(4+1) = -1-9+5 = -5

V = \frac{|-5|}{6} = \frac56 \approx 0{,}83 \ \text{u}^{3}

(Como $V\neq0$ , los cuatro puntos no son coplanarios y el tetraedro existe.)

b) El normal del plano $ABC$ .

\vec n = \vec{AB}\times\vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & -3 & 1 \\ -2 & -1 & 1\end{array}\right|

\vec i: (-3)(1)-(1)(-1) = -2 \qquad \vec j: -\bigl[(-1)(1)-(1)(-2)\bigr] = -1 \qquad \vec k: (-1)(-1)-(-3)(-2) = -5

\vec n = (-2,\, -1,\, -5) \;\sim\; (2,\, 1,\, 5)

La recta por $D(2,-1,2)$ con ese director.

s \equiv (x,y,z) = (2,\,-1,\,2)+t\,(2,\,1,\,5)

s \equiv \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{5}

Comprobaciones.

Con

\vec n = (2,1,5)

\vec n\cdot\vec{AB} = 2(-1)+1(-3)+5(1) = -2-3+5 = 0 \;\checkmark

\vec n\cdot\vec{AC} = 2(-2)+1(-1)+5(1) = -4-1+5 = 0 \;\checkmark

El plano $ABC$ (por si se quiere):

\;2(x-1)+(y-1)+5(z-1) = 0 \Rightarrow 2x+y+5z-8 = 0

.

$D$ no está en él:

\;4-1+10-8 = 5 \neq 0

\checkmark

(coherente con

V\neq0

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Volumen del tetraedro $=\frac16$ del producto mixto. El $\frac16$ (no $\frac12$ ni $\frac13$ ) es el factor que más se olvida; $\frac12$ corresponde al triángulo en el plano.

"Perpendicular al plano" $\Rightarrow$ el director de la recta es el normal del plano. No lo confundas con "paralela al plano", donde sería perpendicular al normal.

Simplifica el normal $(-2,-1,-5)$ a $(2,1,5)$ y comprueba que es perpendicular a $\vec{AB}$ y a $\vec{AC}$ : dos productos escalares nulos validan todo el apartado.