Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2016 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera el punto

A(1,-1,1)

y la recta

r

dada por

r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 1 - \phantom{2}\lambda \\ z = 1\end{cases}

a) [1,5 puntos] Calcula las coordenadas del punto simétrico de

A

respecto a

r

.

b) [1 punto] Determina la ecuación del plano que contiene a

r

y pasa por

A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;R(1,1,1),\; \vec{u} = (2,-1,0); \qquad A\notin r\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{QA}\cdot\vec{u} = 2 - 5\lambda = 0 \Rightarrow Q\left(\tfrac95, \tfrac35, 1\right); \qquad A' = 2Q - A = \left(\tfrac{13}{5},\, \tfrac{11}{5},\, 1\right)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{n} = \vec{u}\times\vec{RA} \parallel (0,0,1) \;\Longrightarrow\; z = 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Simétrico respecto de una recta: se parametriza el punto genérico $Q(\lambda)$ , se impone $\vec{QA}\perp\vec{u}$ para hallar el pie, y $A' = 2Q - A$ .
b) El plano queda determinado por un punto $R$ de la recta, la dirección $\vec{u}$ y el vector $\vec{RA}$ : su normal es $\vec{u}\times\vec{RA}$ .

Antes conviene comprobar que

A\notin r

. Ojo: mirar la

z

no basta, porque todos los puntos de

r

tienen

z=1

A

también; hay que mirar otra coordenada.

Desarrollo

Elementos de la recta.

R(1,\, 1,\, 1), \qquad \vec{u} = (2,\, -1,\, 0)

¿Está $A$ en $r$ ? Para que

A(1,-1,1)

estuviera en

r

haría falta

1 + 2\lambda = 1

, es decir

\lambda = 0

, y entonces

y = 1 \neq -1

. Luego

A \notin r \quad \checkmark

a) Pie de la perpendicular.

Q(\lambda) = \bigl(1+2\lambda,\; 1-\lambda,\; 1\bigr)

\vec{QA} = A - Q = \bigl(-2\lambda,\; -2+\lambda,\; 0\bigr)

Imponemos

\vec{QA}\cdot\vec{u} = 0

(-2\lambda)(2) + (-2+\lambda)(-1) + 0 = -4\lambda + 2 - \lambda = 2 - 5\lambda = 0

\lambda = \frac{2}{5}

Q = \left(1 + \frac45,\; 1 - \frac25,\; 1\right) = \left(\frac{9}{5},\; \frac{3}{5},\; 1\right)

El simétrico.

A' = 2Q - A = \left(\frac{18}{5} - 1,\; \frac{6}{5} + 1,\; 2 - 1\right) = \left(\frac{13}{5},\; \frac{11}{5},\; 1\right)

Comprobación.

\vec{AQ} = \left(\tfrac45, \tfrac85, 0\right)

\vec{QA'} = \left(\tfrac45, \tfrac85, 0\right)

coinciden

\checkmark

, y

\vec{AQ}\cdot\vec{u} = \tfrac85 - \tfrac85 = 0\;\checkmark

b) El plano.

\vec{RA} = A - R = (0,\, -2,\, 0)

\vec{n} = \vec{u}\times\vec{RA} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 0\end{array}\right|

\vec{i}: \; (-1)(0) - (0)(-2) = 0 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(2)(0) - (0)(0)\bigr] = 0 \qquad \vec{k}: \; (2)(-2) - (-1)(0) = -4

\vec{n} = (0,\, 0,\, -4) \;\parallel\; (0,\, 0,\, 1)

Ecuación, por

R(1,1,1)

0 + 0 + 1\,(z - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; z = 1

(Tiene todo el sentido: la recta $r$ está entera en el plano $z=1$ , y el punto $A$ también tiene $z=1$ . El plano pedido es simplemente el plano horizontal $z=1$ .)

Comprobaciones. El punto genérico de

r

tiene

z=1\;\checkmark

, y

A(1,-1,1)

tiene

z=1\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para comprobar si $A$ está en la recta no basta con mirar una coordenada: aquí $A$ y todos los puntos de $r$ comparten $z=1$ , pero la $y$ no encaja. Hay que verificar que existe un único $\lambda$ que reproduzca las tres.

Que el plano salga $z = 1$ no es un resultado degenerado: la recta es horizontal y el punto está a la misma altura, así que el plano que los contiene es el horizontal. Reconocerlo es una buena comprobación geométrica.

Y no confundas el pie $Q$ con el simétrico $A'$ : $Q$ está a mitad de camino. Las fracciones del resultado son normales; el pie rara vez cae en un punto de coordenadas enteras.