Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2020 · Junio

Enunciado

Ejercicio 4. Considera los puntos

A(t, 2, -1)

B(0,1,1)

C(-1,0,2)

D(2, 3, -t-1)

.

a) [1,25 puntos] Calcula el valor o valores de

t

para que el volumen del tetraedro de vértices

A

B

C

D

sea

5

unidades cúbicas.

b) [1,25 puntos] Para

t = 0

, calcula la distancia del punto

A

a la recta determinada por los puntos

B

C

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \bigl[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr] = t - t^{2}; \qquad |t - t^{2}| = 30 \;\Longrightarrow\; t = 6 \text{ o } t = -5\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad d(A, r) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), el volumen del tetraedro es un sexto del valor absoluto del producto mixto. El parámetro

t

aparece en dos vértices, así que el determinante quedará en función de

t

; al haber valor absoluto, la ecuación se desdobla en dos casos, y hay que estudiar los dos (aquí, como se verá, uno de ellos no da soluciones reales).

En b), distancia de un punto a una recta con la fórmula del producto vectorial:

d(A, r) = \frac{\bigl\lVert\vec{BA}\times\vec{BC}\bigr\rVert}{\bigl\lVert\vec{BC}\bigr\rVert}

Desarrollo

a) Vectores desde $A$ .

\vec{AB} = (-t,\, -1,\, 2), \qquad \vec{AC} = (-1-t,\, -2,\, 3), \qquad \vec{AD} = (2-t,\, 1,\, -t)

Producto mixto.

\bigl[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} -t & -1 & 2 \\ -1-t & -2 & 3 \\ 2-t & 1 & -t \end{array}\right|

Desarrollando por la primera fila:

= -t\bigl[(-2)(-t) - 3\cdot 1\bigr] - (-1)\bigl[(-1-t)(-t) - 3(2-t)\bigr] + 2\bigl[(-1-t)\cdot 1 - (-2)(2-t)\bigr]

= \bigl(-2t^{2} + 3t\bigr) + \bigl(t^{2} + 4t - 6\bigr) + \bigl(6 - 6t\bigr)

y el resultado es notablemente sencillo:

\bigl[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\bigr] = -t^{2} + t = t\,(1 - t)

Condición del volumen.

V = \frac{1}{6}\bigl|t\,(1-t)\bigr| = 5 \;\Longrightarrow\; \bigl|t - t^{2}\bigr| = 30

Caso 1:

\;t - t^{2} = 30 \Longrightarrow t^{2} - t + 30 = 0

, con discriminante

1 - 120 < 0

: sin soluciones reales.

Caso 2:

\;t - t^{2} = -30 \Longrightarrow t^{2} - t - 30 = 0

t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2} = \frac{1 \pm 11}{2} \;\Longrightarrow\; t = 6 \quad \text{o} \quad t = -5

t = 6 \qquad \text{o} \qquad t = -5

(Comprobación con $t = 6$ : el producto mixto vale $6 - 36 = -30$ y $V = 30/6 = 5\;\checkmark$ . Con $t = -5$ : $-5 - 25 = -30$ , igual $\checkmark$ .)

b) Caso $t = 0$ . Entonces

A(0, 2, -1)

, y la recta pasa por

B(0,1,1)

C(-1,0,2)

\vec{BA} = A - B = (0,\, 1,\, -2), \qquad \vec{BC} = C - B = (-1,\, -1,\, 1)

\vec{BA}\times\vec{BC} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \end{array}\right|

\vec{i}: \; (1)(1) - (-2)(-1) = 1 - 2 = -1

\vec{j}: \; -\Bigl[(0)(1) - (-2)(-1)\Bigr] = -(0 - 2) = 2

\vec{k}: \; (0)(-1) - (1)(-1) = 1

\vec{BA}\times\vec{BC} = (-1,\, 2,\, 1), \qquad \bigl\lVert\cdot\bigr\rVert = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}

\bigl\lVert\vec{BC}\bigr\rVert = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}

d(A, r) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41 \ \text{unidades}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al abrir el valor absoluto, resuelve los dos casos aunque uno se caiga: escribir que $t^{2}-t+30 = 0$ no tiene soluciones reales (discriminante negativo) forma parte de la respuesta, no es un cálculo desperdiciado.

Y en b), la fórmula lleva el director de la recta en los dos sitios: en el producto vectorial y en el denominador. Un error frecuente es dividir entre $\lVert\vec{BA}\rVert$ en lugar de entre $\lVert\vec{BC}\rVert$ ; el resultado cambia y deja de ser una distancia.