Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2010 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Halla el punto simétrico de

P(1,1,1)

respecto de la recta

r

de ecuación

\frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+1}{-1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec u = (2,3,-1), \quad A(1,0,-1)\in r\;}

\boxed{\;\text{Plano perp. por } P: \ 2x+3y-z-4 = 0\;}

\boxed{\;Q(t) = (1+2t,\,3t,\,-1-t) \text{ en el plano}: \ 14t-1 = 0 \Rightarrow t = \tfrac{1}{14}\;}

\boxed{\;M\left(\tfrac87,\tfrac{3}{14},-\tfrac{15}{14}\right), \qquad P' = 2M-P = \left(\tfrac97,\; -\tfrac47,\; -\tfrac{22}{7}\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Receta del simétrico respecto de una recta, en tres pasos:

Plano perpendicular a $r$ que pasa por $P$ : su normal es el director $\vec u$ de la recta.
Pie $M$ de la perpendicular: corte de ese plano con $r$ .
Simétrico: $M$ es el punto medio de $P$ y $P'$ , luego

P' = 2M-P

Aunque los números salgan fraccionarios, el esquema no cambia.

Desarrollo

Datos de la recta.

\vec u = (2,\; 3,\; -1) \qquad A(1,\,0,\,-1)\in r

1) El plano perpendicular a $r$ por $P(1,1,1)$ . Su normal es

\vec u

2\,(x-1)+3\,(y-1)-1\,(z-1) = 0

2x-2+3y-3-z+1 = 0 \;\Longrightarrow\; 2x+3y-z-4 = 0

Comprobación con

P

\;2+3-1-4 = 0

\;\checkmark

2) El pie de la perpendicular. Punto genérico de

r

Q(t) = (1+2t,\; 3t,\; -1-t)

Sustituyendo en el plano:

2\,(1+2t)+3\,(3t)-(-1-t)-4 = 2+4t+9t+1+t-4 = 14t-1 = 0

t = \frac{1}{14}

M = \left(1+\frac{2}{14},\; \frac{3}{14},\; -1-\frac{1}{14}\right) = \left(\frac87,\; \frac{3}{14},\; -\frac{15}{14}\right)

Comprobación (

M

está en el plano):

\;\frac{16}{7}+\frac{9}{14}+\frac{15}{14}-4 = \frac{32+9+15-56}{14} = 0

\;\checkmark

3) El simétrico.

P' = 2M-P = \left(\frac{16}{7}-1,\; \frac{6}{14}-1,\; -\frac{30}{14}-1\right) = \left(\frac97,\; -\frac47,\; -\frac{22}{7}\right)

Comprobación.

\;\vec{PM} = M-P = \left(\frac17,\; -\frac{11}{14},\; -\frac{29}{14}\right)

\vec{PM}\cdot\vec u = \frac27-\frac{33}{14}+\frac{29}{14} = \frac{4-33+29}{14} = 0 \;\checkmark

Punto medio de $P$ y $P'$ :

\left(\frac{1+\tfrac97}{2},\; \frac{1-\tfrac47}{2},\; \frac{1-\tfrac{22}{7}}{2}\right) = \left(\frac{8}{7},\; \frac{3}{14},\; -\frac{15}{14}\right) = M \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los tres pasos son siempre los mismos: plano perpendicular por el punto $\to$ pie $\to$ duplicar. Anótalos como esquema antes de calcular nada.

Que $t = \frac{1}{14}$ salga fraccionario no es señal de error. Trabaja con fracciones exactas hasta el final; redondear a mitad de camino estropea las comprobaciones.

Cierra con dos verificaciones baratas: $\vec{PM}\cdot\vec u = 0$ y que $M$ es el punto medio de $P$ y $P'$ . Si las dos salen, la respuesta es correcta seguro.