Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2009 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Se considera la recta

r

definida por

r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = \lambda-2\end{cases}

y la recta

s

definida por

s \equiv \begin{cases} x = \mu \\ y = \mu-1 \\ z = -1\end{cases}

Halla la ecuación de la recta perpendicular común a

r

s

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec u = (0,0,1), \ A(1,1,-2); \quad \vec v = (1,1,0), \ B(0,-1,-1)\;}

\boxed{\;\vec w = \vec u\times\vec v = (-1,1,0)\;}

\boxed{\;\pi_{A}\colon x+y-2 = 0 \ \ (\text{contiene } r); \qquad \pi_{B}\colon z = -1 \ \ (\text{contiene } s)\;}

\boxed{\;t \equiv \{x+y = 2,\ z = -1\} \equiv (1,1,-1)+\nu\,(-1,1,0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La perpendicular común tiene por director

\vec w = \vec u\times\vec v

y se obtiene como intersección de dos planos:

$\pi_{A}$ : contiene a $r$ y a $\vec w$ ,
$\pi_{B}$ : contiene a $s$ y a $\vec w$ .

Aquí las dos rectas son especialmente sencillas:

r

es vertical (paralela al eje

Z

) y

s

es horizontal (está en el plano

z=-1

), lo que hace que los cálculos salgan muy limpios.

Desarrollo

Datos.

r\colon \ \vec u = (0,\, 0,\, 1), \quad A(1,\,1,\,-2) \quad (\lambda = 0)

s\colon \ \vec v = (1,\, 1,\, 0), \quad B(0,\,-1,\,-1) \quad (\mu = 0)

El director de la perpendicular común.

\vec w = \vec u\times\vec v = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right|

\vec i: (0)(0)-(1)(1) = -1 \qquad \vec j: -\bigl[(0)(0)-(1)(1)\bigr] = 1 \qquad \vec k: 0-0 = 0

\vec w = (-1,\, 1,\, 0)

(No es $\vec 0$ : las rectas no son paralelas.)

El plano $\pi_{A}$ (contiene

r

\vec w

). Normal:

\vec{n_{A}} = \vec u\times\vec w = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right| = (-1,\, -1,\, 0)

Con

A(1,1,-2)

-1\,(x-1)-1\,(y-1) = 0 \;\Longrightarrow\; x+y-2 = 0

El plano $\pi_{B}$ (contiene

s

\vec w

). Normal:

\vec{n_{B}} = \vec v\times\vec w = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right| = (0,\, 0,\, 2)

Con

B(0,-1,-1)

2\,(z+1) = 0 \;\Longrightarrow\; z = -1

(Lógico: $s$ vive en el plano $z=-1$ y $\vec w$ es horizontal.)

La perpendicular común.

t \equiv \begin{cases} x+y-2 = 0 \\ z = -1\end{cases}

Los pies. Punto genérico de

r

(1,1,\lambda-2)

. En

\pi_{B}

(

z=-1

\;\lambda-2 = -1 \Rightarrow \lambda = 1

P = (1,\; 1,\; -1)

Punto genérico de

s

(\mu,\mu-1,-1)

. En

\pi_{A}

\;\mu+\mu-1-2 = 2\mu-3 = 0 \Rightarrow \mu = \frac32

Q = \left(\frac32,\; \frac12,\; -1\right)

Comprobación:

\;\vec{PQ} = \left(\frac12,-\frac12,0\right) = -\frac12\,\vec w

, paralelo a

\vec w

\;\checkmark

En paramétricas:

t \equiv (x,y,z) = (1,\,1,\,-1)+\nu\,(-1,\,1,\,0)

(Y de paso, la distancia entre $r$ y $s$ es $\bigl|\vec{PQ}\bigr| = \frac{\sqrt2}{2}$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La perpendicular común se construye como intersección de dos planos, cada uno con una recta y el vector $\vec w$ . Es mucho más corto que imponer las dos perpendicularidades a mano.

Ojo al orden de los productos: $\vec{n_{A}} = \vec u\times\vec w$ (los dos vectores del plano), no $\vec u\times\vec v$ otra vez.

Comprueba al final que $\vec{PQ}$ es paralelo a $\vec w$ : valida a la vez los dos planos y los dos pies. Y su módulo es, de propina, la distancia entre las rectas.