Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2021 · Junio

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque B). Considera las rectas

r \equiv \begin{cases} 2x - 3y + \phantom{2}z - 2 = 0 \\ -3x + 2y + 2z + 1 = 0 \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x = 3 - 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = -2 + 2\lambda \end{cases}

a) [1,5 puntos] Calcula el plano perpendicular a la recta

s

que pasa por el punto

P(1, 0, -5)

.

b) [1 punto] Calcula el seno del ángulo que forma la recta

r

con el plano

\pi \equiv -2x + y + 2z = 0

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \pi' \equiv 2x - y - 2z - 12 = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \operatorname{sen}\alpha = \frac{1}{3\sqrt{138}} = \frac{\sqrt{138}}{414} \approx 0{,}028 \quad (\alpha \approx 1{,}6^{\circ})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados son independientes y usan datos distintos, así que conviene identificarlos bien antes de empezar:

En a) solo interviene $s$ . Un plano perpendicular a una recta tiene como vector normal el director de esa recta, que se lee directamente de las paramétricas. Con el normal y el punto, la ecuación sale en una línea.
En b) solo intervienen $r$ y $\pi$ . La recta viene en forma implícita, así que su director es el producto vectorial de los dos normales. Y el ángulo recta-plano se calcula con el seno (no con el coseno), porque la fórmula usa el director y la normal, que forman el ángulo complementario.

Desarrollo

a) El plano perpendicular a $s$ . De las paramétricas de

s

\vec{d}_{s} = (-2,\, 1,\, 2)

Un plano perpendicular a

s

tiene ese vector como normal. Imponiendo el paso por

P(1,0,-5)

-2\,(x - 1) + 1\,(y - 0) + 2\,(z + 5) = 0

-2x + 2 + y + 2z + 10 = 0 \;\Longrightarrow\; -2x + y + 2z + 12 = 0

Cambiando de signo para dejar el primer coeficiente positivo:

\pi' \equiv 2x - y - 2z - 12 = 0

(Comprobación: $P(1,0,-5)$ da $2 - 0 + 10 - 12 = 0\;\checkmark$ )

b) Vector director de $r$ . Es el producto vectorial de los normales de los dos planos que la definen,

\vec{n}_{1} = (2,-3,1)

\vec{n}_{2} = (-3,2,2)

\vec{d}_{r} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ -3 & 2 & 2 \end{array}\right|

\vec{i}: \; (-3)(2) - (1)(2) = -6 - 2 = -8

\vec{j}: \; -\Bigl[(2)(2) - (1)(-3)\Bigr] = -\bigl[4 + 3\bigr] = -7

\vec{k}: \; (2)(2) - (-3)(-3) = 4 - 9 = -5

\vec{d}_{r} = (-8,\, -7,\, -5), \qquad \bigl\lVert\vec{d}_{r}\bigr\rVert = \sqrt{64 + 49 + 25} = \sqrt{138}

Seno del ángulo con $\pi$ . Con

\vec{n}_{\pi} = (-2, 1, 2)

\lVert\vec{n}_{\pi}\rVert = 3

\vec{d}_{r}\cdot\vec{n}_{\pi} = (-8)(-2) + (-7)(1) + (-5)(2) = 16 - 7 - 10 = -1

\operatorname{sen}\alpha = \frac{\bigl|\vec{d}_{r}\cdot\vec{n}_{\pi}\bigr|}{\bigl\lVert\vec{d}_{r}\bigr\rVert\,\bigl\lVert\vec{n}_{\pi}\bigr\rVert} = \frac{1}{3\sqrt{138}} = \frac{\sqrt{138}}{414} \approx 0{,}0284

El ángulo es muy pequeño,

\alpha \approx 1{,}6^{\circ}

: la recta es casi paralela al plano (el producto escalar vale

-1

, muy cerca de

0

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Consejo

"Plano perpendicular a una recta" significa que el director de la recta es el normal del plano. No lo confundas con "plano paralelo a una recta", donde el director va dentro del plano y la condición es $\vec{n}\cdot\vec{d} = 0$ : son situaciones opuestas.

Para el ángulo entre recta y plano se usa el seno. Si aplicas el arcocoseno obtienes $88{,}4^{\circ}$ en lugar de $1{,}6^{\circ}$ : el complementario. Y no te alarmes si el ángulo sale casi nulo; aquí el producto escalar vale $-1$ frente a módulos grandes, así que es lo esperable.