Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2009 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera el punto

P(1,0,0)

, la recta

r

definida por

x-3 = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-2}

y la recta

s

definida por

\;(x,y,z) = (1,1,0)+\lambda\,(-1,2,0)

.

a) [1,25 puntos] Estudia la posición relativa de

r

s

.

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasando por $P$ es paralelo a $r$ y a $s$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec u = (1,2,-2), \ A(3,0,-1); \qquad \vec v = (-1,2,0), \ B(1,1,0)\;}

\boxed{\;\vec u \nparallel \vec v; \quad \det\bigl(\vec u,\vec v,\vec{AB}\bigr) = -2 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{se cruzan}\;}

\boxed{\;\vec n = \vec u\times\vec v = (4,2,4)\sim(2,1,2)\;}

\boxed{\;\pi\colon 2x+y+2z-2 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) El criterio del producto mixto:

- si

\vec u\parallel\vec v

: paralelas o coincidentes,
- si no, se calcula

\det\bigl(\vec u,\vec v,\vec{AB}\bigr)

: si vale

0

se cortan; si no, se cruzan.

b) Un plano paralelo a dos rectas de direcciones distintas tiene por normal

\vec n = \vec u\times\vec v

y solo falta imponer que pase por

P

Desarrollo

Datos.

De

\;\dfrac{x-3}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z+1}{-2}

\vec u = (1,\, 2,\, -2) \qquad A(3,\,0,\,-1)\in r

De las paramétricas de

s

\vec v = (-1,\, 2,\, 0) \qquad B(1,\,1,\,0)\in s

a) La posición relativa.

¿Son paralelas?

\;\dfrac{1}{-1} \neq \dfrac{2}{2}

: los directores no son proporcionales, así que las rectas se cortan o se cruzan.

\vec{AB} = B-A = (1-3,\; 1-0,\; 0+1) = (-2,\; 1,\; 1)

\det\bigl(\vec u,\vec v,\vec{AB}\bigr) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 1\end{vmatrix}

Desarrollando por la primera fila:

= 1\,(2\cdot1-0\cdot1)-2\bigl[(-1)(1)-0\cdot(-2)\bigr]+(-2)\bigl[(-1)(1)-2\,(-2)\bigr]

= 2-2\,(-1)-2\,(3) = 2+2-6 = -2 \neq 0

\textbf{Las rectas se cruzan} \ \text{(no son coplanarias)}

b) El plano por $P$ paralelo a las dos. Su normal:

\vec n = \vec u\times\vec v = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 2 & -2 \\ -1 & 2 & 0\end{array}\right|

\vec i: (2)(0)-(-2)(2) = 4 \qquad \vec j: -\bigl[(1)(0)-(-2)(-1)\bigr] = 2 \qquad \vec k: (1)(2)-(2)(-1) = 4

\vec n = (4,\, 2,\, 4) \;\sim\; (2,\, 1,\, 2)

Con el punto $P(1,0,0)$ :

2\,(x-1)+1\,(y-0)+2\,(z-0) = 0 \;\Longrightarrow\; 2x+y+2z-2 = 0

Comprobaciones.

\vec n\cdot\vec u = 2+2-4 = 0 \;\checkmark \qquad \vec n\cdot\vec v = -2+2+0 = 0 \;\checkmark

Ninguna de las dos rectas está contenida:

A(3,0,-1): \ 6+0-2-2 = 2 \neq 0 \;\checkmark \qquad B(1,1,0): \ 2+1+0-2 = 1 \neq 0 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El orden del estudio de posiciones relativas es: ¿directores proporcionales? Si no, calcula el producto mixto con $\vec{AB}$ . Cero $\to$ se cortan; distinto de cero $\to$ se cruzan.

Un plano paralelo a dos direcciones tiene por normal su producto vectorial. Que las rectas se crucen no impide que exista ese plano: solo hay uno por cada punto.

Comprueba $\vec n\cdot\vec u = \vec n\cdot\vec v = 0$ y que ninguna recta esté contenida en el plano. Las dos verificaciones juntas validan el apartado entero.