Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2022 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque B). Sean los planos

\pi_{1} \equiv 2x + y + z - 3 = 0

\pi_{2} \equiv x + 2y - z + 5 = 0

y la recta

r \equiv x - 1 = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{5}

a) [2 puntos] Halla los puntos de

r

que equidistan de

\pi_{1}

\pi_{2}

.

b) [0,5 puntos] Halla el seno del ángulo que forma el plano

\pi_{1}

con la recta

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad P_{1}(2,\, 2,\, 4) \qquad \text{y} \qquad P_{2}\!\left(\frac{4}{9},\, -\frac{10}{9},\, -\frac{34}{9}\right)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \operatorname{sen}\alpha = \frac{3\sqrt{5}}{10} \approx 0{,}67 \quad (\alpha \approx 42^{\circ})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos vectores normales tienen el mismo módulo,

\sqrt{6}

, lo que hace que al igualar las distancias se cancelen los denominadores. Merece la pena comprobarlo antes de empezar.

Y hay una sorpresa que conviene detectar: al calcular

d(P, \pi_{2})

el parámetro desaparece. Eso significa que

r

es paralela a $\pi_{2}$ , y se puede verificar directamente con

\vec{d}_{r}\cdot\vec{n}_{2} = 0

. La ecuación de equidistancia queda entonces

|9t - 2| = 7

, con dos soluciones.

En b), atención a la fórmula: el ángulo recta-plano lleva seno, no coseno. Como el vector director forma con la normal el complementario del ángulo con el plano, la fórmula es

\operatorname{sen}\alpha = \frac{\bigl|\vec{d}\cdot\vec{n}\bigr|}{\lVert\vec{d}\rVert\,\lVert\vec{n}\rVert}

Desarrollo

Parametrización de la recta. De

x - 1 = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z+1}{5} = t

r \equiv P(t) = \bigl(1 + t,\; 2t,\; -1 + 5t\bigr), \qquad \vec{d}_{r} = (1, 2, 5)

Los normales.

\vec{n}_{1} = (2, 1, 1), \qquad \vec{n}_{2} = (1, 2, -1), \qquad \lVert\vec{n}_{1}\rVert = \lVert\vec{n}_{2}\rVert = \sqrt{6}

a) Distancia a $\pi_{1}$ .

d\bigl(P(t), \pi_{1}\bigr) = \frac{\bigl|2(1+t) + 2t + (-1+5t) - 3\bigr|}{\sqrt{6}} = \frac{\bigl|2 + 2t + 2t - 1 + 5t - 3\bigr|}{\sqrt{6}} = \frac{|9t - 2|}{\sqrt{6}}

Distancia a $\pi_{2}$ .

d\bigl(P(t), \pi_{2}\bigr) = \frac{\bigl|(1+t) + 2(2t) - (-1+5t) + 5\bigr|}{\sqrt{6}} = \frac{\bigl|1 + t + 4t + 1 - 5t + 5\bigr|}{\sqrt{6}} = \frac{7}{\sqrt{6}}

El parámetro se ha cancelado: la distancia es constante, lo que confirma que

r

es paralela a

\pi_{2}

. En efecto,

\vec{d}_{r}\cdot\vec{n}_{2} = 1 + 4 - 5 = 0

Condición de equidistancia. Cancelando el

\sqrt{6}

común:

|9t - 2| = 7

Caso 1:

\;9t - 2 = 7 \Longrightarrow t = 1

P_{1} = \bigl(1 + 1,\; 2,\; -1 + 5\bigr) = (2,\, 2,\, 4)

Caso 2:

\;9t - 2 = -7 \Longrightarrow 9t = -5 \Longrightarrow t = -\dfrac{5}{9}

P_{2} = \left(1 - \frac{5}{9},\; -\frac{10}{9},\; -1 - \frac{25}{9}\right) = \left(\frac{4}{9},\; -\frac{10}{9},\; -\frac{34}{9}\right)

Comprobación de $P_{1}(2,2,4)$ :

d(P_{1}, \pi_{1}) = \frac{|4 + 2 + 4 - 3|}{\sqrt{6}} = \frac{7}{\sqrt{6}}, \qquad d(P_{1}, \pi_{2}) = \frac{|2 + 4 - 4 + 5|}{\sqrt{6}} = \frac{7}{\sqrt{6}} \quad \checkmark

b) Seno del ángulo entre $\pi_{1}$ y $r$ .

\operatorname{sen}\alpha = \frac{\bigl|\vec{d}_{r}\cdot\vec{n}_{1}\bigr|}{\lVert\vec{d}_{r}\rVert\,\lVert\vec{n}_{1}\rVert} = \frac{\bigl|1\cdot 2 + 2\cdot 1 + 5\cdot 1\bigr|}{\sqrt{1 + 4 + 25}\cdot\sqrt{6}} = \frac{9}{\sqrt{30}\cdot\sqrt{6}} = \frac{9}{\sqrt{180}}

Simplificando,

\sqrt{180} = 6\sqrt{5}

\operatorname{sen}\alpha = \frac{9}{6\sqrt{5}} = \frac{3}{2\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{10} \approx 0{,}671

(Es decir, $\alpha \approx 42{,}1^{\circ}$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El ángulo entre una recta y un plano se calcula con el seno, no con el coseno. La razón es que la fórmula usa el vector director y la normal, que forman el ángulo complementario del que se pide. Aplicar el arcocoseno aquí da $48^{\circ}$ en lugar de $42^{\circ}$ : el complementario, y por tanto mal.

Si al calcular una distancia el parámetro se cancela, no es un error: significa que la recta es paralela al plano. Menciónalo, porque es información geométrica real y además te simplifica la ecuación de equidistancia a un solo valor absoluto.