Ejercicio 8 (bloque B). La recta r \equiv \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z - 3}{3} y la recta s, que pasa por los puntos P(1, 0, 2) y Q(a, 1, 0), se cortan en un punto. Calcula el valor de a y el punto de corte.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2021 · Junio

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque B). La recta

r \equiv \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z - 3}{3}

y la recta

s

, que pasa por los puntos

P(1, 0, 2)

Q(a, 1, 0)

, se cortan en un punto. Calcula el valor de

a

y el punto de corte.

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Resultado

\boxed{\;\bigl[\vec{RP}, \vec{d}_{r}, \vec{d}_{s}\bigr] = 14a - 28 = 0 \;\Longrightarrow\; a = 2\;}

\boxed{\;\text{Punto de corte: } (-1,\, -2,\, 6)\;}

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Estrategia

Que dos rectas se corten equivale a que sean coplanarias y no paralelas. La coplanariedad se traduce en que el producto mixto

\bigl[\vec{RP},\; \vec{d}_{r},\; \vec{d}_{s}\bigr] = 0

lo que da una ecuación de primer grado en

a

.

Una vez hallado

a

, el punto de corte se obtiene igualando las paramétricas de las dos rectas. Conviene elegir la coordenada que dé el sistema más sencillo; aquí hay un detalle curioso que conviene detectar: una de las tres ecuaciones se cumple idénticamente, así que el sistema se resuelve con las otras dos.

Desarrollo

Datos de las rectas. De la ecuación continua de

r

R(-3,\, -4,\, 3), \qquad \vec{d}_{r} = (2,\, 2,\, 3)

La recta

s

pasa por

P(1,0,2)

Q(a,1,0)

\vec{d}_{s} = Q - P = (a - 1,\; 1,\; -2)

\vec{RP} = P - R = (4,\; 4,\; -1)

Condición de corte (coplanariedad).

\bigl[\vec{RP},\, \vec{d}_{r},\, \vec{d}_{s}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} 4 & 4 & -1 \\ 2 & 2 & 3 \\ a-1 & 1 & -2 \end{array}\right| = 0

Desarrollando por la primera fila:

= 4\bigl(2\cdot(-2) - 3\cdot 1\bigr) - 4\bigl(2\cdot(-2) - 3(a-1)\bigr) + (-1)\bigl(2\cdot 1 - 2(a-1)\bigr)

= 4\,(-7) - 4\,(-4 - 3a + 3) - \bigl(2 - 2a + 2\bigr)

= -28 - 4\,(-1 - 3a) - (4 - 2a) = -28 + 4 + 12a - 4 + 2a = 14a - 28

14a - 28 = 0 \;\Longrightarrow\; a = 2

Hay que descartar el paralelismo. Con

a = 2

\vec{d}_{s} = (1, 1, -2)

, que no es proporcional a

\vec{d}_{r} = (2,2,3)

(las dos primeras componentes dan razón

2

, pero

3/(-2) \neq 2

). Luego las rectas son coplanarias y no paralelas: se cortan.

Punto de corte. En paramétricas:

r \equiv \bigl(-3 + 2t,\; -4 + 2t,\; 3 + 3t\bigr), \qquad s \equiv \bigl(1 + u,\; u,\; 2 - 2u\bigr)

Igualando la segunda coordenada:

\;-4 + 2t = u

.

Igualando la primera:

\;-3 + 2t = 1 + u = 1 + (-4 + 2t) = 2t - 3

. Se cumple para todo $t$ : esta ecuación no aporta información.

Igualando la tercera:

3 + 3t = 2 - 2u = 2 - 2\,(-4 + 2t) = 2 + 8 - 4t = 10 - 4t

7t = 7 \;\Longrightarrow\; t = 1

El punto. Sustituyendo

t = 1

r

\bigl(-3 + 2,\; -4 + 2,\; 3 + 3\bigr) = (-1,\, -2,\, 6)

Comprobación en $s$ : con

t=1

u = -4 + 2 = -2

, luego

\bigl(1 - 2,\; -2,\; 2 + 4\bigr) = (-1,\, -2,\, 6) \quad \checkmark

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Consejo

El producto mixto nulo solo garantiza coplanariedad; dos rectas paralelas también son coplanarias y no se cortan. Comprueba siempre que los directores no son proporcionales antes de dar el apartado por cerrado: es una línea y es donde se reparten los puntos del razonamiento.

Al igualar las paramétricas te salen tres ecuaciones con dos incógnitas. No es un error que una de ellas sea una identidad ( $0=0$ ): precisamente eso confirma que el sistema es compatible, que es lo mismo que decir que las rectas se cortan. Usa las otras dos para despejar y comprueba el punto en las dos rectas.