Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2012 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Dadas las rectas

r \equiv \frac{x+3}{-6} = \frac{y-9}{4} = \frac{z-8}{4} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \frac{x-3}{3} = \frac{y-9}{-2} = \frac{z-8}{-2}

a) [1 punto] Determina la posición relativa de las rectas

r

s

.

b) [1,5 puntos] Calcula la distancia entre

r

s

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Resultado

\boxed{\;r: A(-3,9,8), \ \vec{u} = (-6,4,4); \qquad s: B(3,9,8), \ \vec{v} = (3,-2,-2)\;}

\boxed{\;\vec{u} = -2\vec{v} \ \text{ y } \ B\notin r \;\Longrightarrow\; \textbf{paralelas distintas}\;}

\boxed{\;\vec{AB} = (6,0,0), \qquad \vec{AB}\times\vec{v} = (0,12,-12)\;}

\boxed{\;d(r,s) = \frac{12\sqrt2}{\sqrt{17}} = \frac{12\sqrt{34}}{17} \approx 4{,}12\;}

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Estrategia

Lo primero es comparar los directores:

\vec{u} = (-6,\, 4,\, 4) \qquad \vec{v} = (3,\, -2,\, -2)

\vec{u} = -2\,\vec{v} \;\Longrightarrow\; \textbf{son proporcionales}

Así que las rectas son paralelas (o coincidentes). Para distinguir, se comprueba si un punto de una está en la otra.

Al ser paralelas, la distancia se calcula con la fórmula punto-recta:

d(r,s) = \frac{\bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{v}\bigr\rVert}{\lVert\vec{v}\rVert}

(Usar el producto mixto aquí sería un error: vale $0$ y no da información.)

Desarrollo

Puntos y directores.

r: \; A(-3,\,9,\,8), \quad \vec{u} = (-6,\, 4,\, 4)

s: \; B(3,\,9,\,8), \quad \vec{v} = (3,\, -2,\, -2)

a) Posición relativa.

\vec{u} = (-6,4,4) = -2\,(3,-2,-2) = -2\,\vec{v} \;\Longrightarrow\; \textbf{paralelas}

¿Coincidentes? Veamos si

B(3,9,8)\in r

\frac{3+3}{-6} = -1 \qquad \frac{9-9}{4} = 0

Los valores del parámetro no coinciden (

-1\neq0

), luego

B\notin r

\textbf{Las rectas son paralelas y distintas}

b) La distancia.

\vec{AB} = (3+3,\; 9-9,\; 8-8) = (6,\, 0,\, 0)

\vec{AB}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 6 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & -2\end{array}\right|

\vec{i}: (0)(-2)-(0)(-2) = 0 \qquad \vec{j}: -\bigl[(6)(-2)-(0)(3)\bigr] = 12 \qquad \vec{k}: (6)(-2)-(0)(3) = -12

\vec{AB}\times\vec{v} = (0,\, 12,\, -12)

Los módulos.

\bigl\lVert(0,12,-12)\bigr\rVert = \sqrt{144+144} = 12\sqrt2 \qquad \lVert\vec{v}\rVert = \sqrt{9+4+4} = \sqrt{17}

d(r,s) = \frac{12\sqrt2}{\sqrt{17}} = \frac{12\sqrt{34}}{17} \approx 4{,}12

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Compara los directores primero. Si son proporcionales, todo el planteamiento cambia: no hay que buscar perpendicular común ni usar el producto mixto (que valdría $0$ ).

Para distinguir paralelas de coincidentes, comprueba si un punto de una pertenece a la otra: los cocientes de la ecuación continua deben dar el mismo valor del parámetro. Aquí dan $-1$ y $0$ , luego no coinciden.

Racionaliza el resultado: $\frac{12\sqrt2}{\sqrt{17}} = \frac{12\sqrt{34}}{17}$ . Y da también el valor aproximado, que ayuda a detectar errores de magnitud.