Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2008 · Reserva 5 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Se sabe que los planos de ecuaciones

x+2y+b z = 1, \qquad 2x+y+b z = 0, \qquad 3x+3y-2z = 1

se cortan en una recta $r$ .

a) [1,25 puntos] Calcula el valor de

b

.

b) [1,25 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas de

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = 6b+6 = 0 \;\Longleftrightarrow\; b = -1\;}

\boxed{\;b = -1: \ F_{3} = F_{1}+F_{2} \text{ (con el t. indep.)} \Rightarrow \operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2\;}

\boxed{\;\begin{cases} x+2y-z = 1 \\ 2x+y-z = 0\end{cases} \;\Longrightarrow\; y = x+1, \ z = 3x+1\;}

\boxed{\;r \equiv (t,\; t+1,\; 3t+1) \quad \text{(punto } (0,1,1), \text{ director } (1,1,3))\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

"Cortarse en una recta" es exactamente lo mismo que decir que el sistema formado por las tres ecuaciones es compatible indeterminado con un parámetro:

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2

Así que hay que imponer

\det M = 0

(para que el rango no sea

3

) y comprobar después que la ampliada tampoco sube.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & b \\ 2 & 1 & b \\ 3 & 3 & -2\end{pmatrix} \qquad b_{\text{col}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}

a) El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det M = 1\,(-2-3b)-2\,(-4-3b)+b\,(6-3)

= -2-3b+8+6b+3b = 6b+6

\det M = 0 \;\Longleftrightarrow\; b = -1

Comprobamos que con $b = -1$ el sistema es compatible.

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & -2 & 1\end{array}\right)

Se cumple

\;F_{3} = F_{1}+F_{2}\;

también en el término independiente:

(1,2,-1)+(2,1,-1) = (3,3,-2) \;\checkmark \qquad 1+0 = 1 \;\checkmark

Y el menor

\;\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1\end{vmatrix} = -3 \neq 0\;

da rango

2

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 \;\Longrightarrow\; \textbf{los tres planos se cortan en una recta}

b = -1

b) Las ecuaciones paramétricas. Con la tercera ecuación descartada:

\begin{cases} x+2y-z = 1 \\ 2x+y-z = 0\end{cases}

Restando la primera de la segunda:

x-y = -1 \;\Longrightarrow\; y = x+1

De la segunda:

\;z = 2x+y = 2x+x+1 = 3x+1

.

Con

x = t

r \equiv \begin{cases} x = t \\ y = t+1 \\ z = 3t+1\end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}

(Es decir, la recta pasa por $(0,1,1)$ con director $(1,1,3)$ .)

Comprobación en la tercera ecuación:

3t+3\,(t+1)-2\,(3t+1) = 3t+3t+3-6t-2 = 1 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Tres planos se cortan en una recta" $=$ sistema compatible indeterminado con un parámetro. No basta con $\det M = 0$ : hay que verificar que la ampliada no sube de rango.

Si el rango bajara a $1$ , los tres planos serían el mismo (o paralelos). Aquí el menor $2\times2$ no nulo garantiza que el rango es exactamente $2$ .

Para dar las paramétricas, descarta la ecuación redundante y resuelve el sistema $2\times3$ que queda. Y comprueba el resultado en la ecuación descartada.