Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2014 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Sea

r

la recta dada por

\dfrac{x+2}{2} = y+1 = \dfrac{z-1}{-3}

y sea

s

la recta dada por

\begin{cases} x-y-3 = 0 \\ 3y-z+6 = 0\end{cases}

a) [1 punto] Estudia la posición relativa de

r

s

.

b) [1,5 puntos] Halla la ecuación general del plano que contiene a

r

y es paralelo a

s

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r: A(-2,-1,1), \ \vec{u} = (2,1,-3); \qquad s: B(3,0,6), \ \vec{v} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (1,1,3)\;}

\boxed{\;\vec{u}\times\vec{v} = (6,-9,1) \neq \vec0 \ \text{ y } \ \bigl[\vec{AB},\vec{u},\vec{v}\bigr] = 26 \neq 0\;}

\boxed{\;\text{a) Las rectas } \textbf{se cruzan}\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec{n} = (6,-9,1) \text{ por } A: \quad 6x-9y+z+2 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Posición relativa de dos rectas: se comparan $\vec{u}$ y $\vec{v}$ (¿proporcionales?) y, si no lo son, se calcula el producto mixto $\bigl[\vec{AB},\vec{u},\vec{v}\bigr]$ . Si es no nulo se cruzan; si es nulo, se cortan.
b) Un plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$ lleva las dos direcciones $\vec{u}$ y $\vec{v}$ . Su normal es $\vec{u}\times\vec{v}$ (el mismo vector que aparece en el producto mixto de a), así que no hay que recalcularlo) y pasa por un punto de $r$ .

Conviene comprobar al final que un punto de

s

no está en el plano: eso confirma que es paralelo y no la contiene.

Desarrollo

Datos de $r$ . De la ecuación continua:

A(-2,\,-1,\,1), \qquad \vec{u} = (2,\, 1,\, -3)

Datos de $s$ . Los normales son

\vec{n_{1}} = (1,-1,0)

\vec{n_{2}} = (0,3,-1)

\vec{v} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & -1\end{array}\right| = (1,\, 1,\, 3)

Un punto: tomando

y=0

en las dos ecuaciones,

x = 3

z = 6

B(3,\,0,\,6)

(Comprobación: $3-0-3 = 0$ y $0-6+6 = 0$ $\checkmark$ )

a) Posición relativa.

\vec{u}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\right|

\vec{i}: (1)(3)-(-3)(1) = 6 \qquad \vec{j}: -\bigl[(2)(3)-(-3)(1)\bigr] = -9 \qquad \vec{k}: (2)(1)-(1)(1) = 1

\vec{u}\times\vec{v} = (6,\, -9,\, 1) \neq \vec{0} \;\Longrightarrow\; \textbf{no son paralelas}

El producto mixto. Con

\vec{AB} = (5,\,1,\,5)

\bigl[\vec{AB},\vec{u},\vec{v}\bigr] = \vec{AB}\cdot\bigl(\vec{u}\times\vec{v}\bigr) = 30-9+5 = 26 \neq 0

\textbf{Las rectas } r \textbf{ y } s \textbf{ se cruzan}

b) El plano. Contiene

\vec{u}

y es paralelo a

\vec{v}

, luego su normal es

\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v} = (6,\, -9,\, 1)

Imponiendo que pase por

A(-2,-1,1)

6(-2)-9(-1)+1(1)+D = -12+9+1+D = 0 \;\Longrightarrow\; D = 2

\pi \equiv 6x-9y+z+2 = 0

Comprobaciones.

A(-2,-1,1): \ -12+9+1+2 = 0 \;\checkmark

\vec{u}\cdot\vec{n} = 12-9-3 = 0 \;\checkmark \qquad \vec{v}\cdot\vec{n} = 6-9+3 = 0 \;\checkmark

B(3,0,6): \ 18-0+6+2 = 26 \neq 0 \;\checkmark \quad (s \text{ es paralela al plano, no está contenida})

(Ese $26$ no es casualidad: es el producto mixto de a). De hecho, $d(r,s) = \dfrac{26}{\lVert(6,-9,1)\rVert} = \dfrac{26}{\sqrt{118}} \approx 2{,}39$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para $s$ , dada como intersección de planos, el director es el producto vectorial de los dos normales. Y para el punto, fija una variable (aquí $y=0$ ) y resuelve; comprueba después que cumple las dos ecuaciones.

El vector $\vec{u}\times\vec{v}$ sirve dos veces: en el producto mixto de a) y como normal del plano en b). Calcúlalo una vez.

Comprueba al final que $B\notin\pi$ : eso confirma que $s$ es paralela al plano y no está contenida en él, que es lo que pide el enunciado. Y el valor que sale es justo el producto mixto.