Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2012 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Sean

r

s

las rectas dadas por

r \equiv \begin{cases} x+y-z = 6 \\ x\phantom{{}+y}+z = 3\end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \frac{x-1}{-1} = \frac{y+1}{6} = \frac{z}{2}

a) [1,25 puntos] Determina el punto de intersección de ambas rectas.

b) [1,25 puntos] Calcula la ecuación general del plano que las contiene.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r: A(3,3,0), \ \vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (1,-2,-1); \qquad s: B(1,-1,0), \ \vec{v} = (-1,6,2)\;}

\boxed{\;\vec{u}\times\vec{v} = (2,-1,4) \neq \vec0 \ \text{ y } \ \bigl[\vec{AB},\vec{u},\vec{v}\bigr] = 0 \;\Longrightarrow\; \text{se cortan}\;}

\boxed{\;\text{a) } \lambda = -4, \ \mu = 2: \quad P = (-1,\, 11,\, 4)\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec{n} = (2,-1,4) \text{ por } A: \quad 2x-y+4z-3 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El enunciado ya adelanta que se cortan (habla del punto de intersección y del plano que las contiene), pero conviene comprobarlo: directores no proporcionales y producto mixto nulo.

a) Se escriben las dos en paramétricas y se igualan componente a componente: un sistema de tres ecuaciones con dos parámetros.
b) Al cortarse, determinan un plano: normal $\;\vec{u}\times\vec{v}\;$ pasando por cualquiera de sus puntos.

Desarrollo

Datos de $r$ . Los normales son

\vec{n_{1}} = (1,1,-1)

\vec{n_{2}} = (1,0,1)

\vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right| = (1,\, -2,\, -1)

Un punto: con

z = 0

\;x = 3

y = 3

A(3,\,3,\,0)

(Comprobación: $3+3-0 = 6$ $\checkmark$ y $3+0 = 3$ $\checkmark$ )

Datos de $s$ .

B(1,\,-1,\,0), \qquad \vec{v} = (-1,\, 6,\, 2)

¿Se cortan?

\vec{u}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & -1 \\ -1 & 6 & 2\end{array}\right| = (2,\, -1,\, 4) \neq \vec{0} \;\Longrightarrow\; \text{no paralelas}

\vec{AB} = (-2,\, -4,\, 0) \qquad \bigl[\vec{AB},\vec{u},\vec{v}\bigr] = -4+4+0 = 0

\textbf{Se cortan en un punto}

a) El punto de intersección. Igualando los puntos genéricos

\;A+\lambda\vec{u} = B+\mu\vec{v}

\begin{cases} 3+\lambda = 1-\mu \\ 3-2\lambda = -1+6\mu \\ \phantom{3}-\lambda = 2\mu\end{cases}

De la tercera:

\;\lambda = -2\mu

. Sustituyendo en la primera:

3-2\mu = 1-\mu \;\Longrightarrow\; \mu = 2 \;\Longrightarrow\; \lambda = -4

(Comprobación en la segunda: $\;3+8 = 11$ y $\;-1+12 = 11$ $\checkmark$ )

P = A-4\,\vec{u} = (3-4,\; 3+8,\; 0+4) = (-1,\, 11,\, 4)

b) El plano. Contiene las dos direcciones, luego su normal es

\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v} = (2,\, -1,\, 4)

Por

A(3,3,0)

2(x-3)-(y-3)+4z = 0 \;\Longrightarrow\; 2x-y+4z-3 = 0

Comprobaciones.

B(1,-1,0)

\;2+1+0-3 = 0\;\checkmark

;

\;P(-1,11,4)

\;-2-11+16-3 = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Comprueba que se cortan antes de buscar el punto: producto mixto nulo y directores no proporcionales. Si se cruzaran, no habría ni punto de corte ni plano común.

Al igualar los puntos genéricos usa parámetros distintos ( $\lambda$ y $\mu$ ). Con el mismo nombre el sistema sale mal y el punto no existe.

El vector $\vec{u}\times\vec{v}$ sirve dos veces: para comprobar que no son paralelas en a) y como normal del plano en b). Y verifica el plano con los dos puntos y con $P$ .