Opción B · Ejercicio 4. Considera el plano \pi de ecuación 2x+y-z+2 = 0 y la recta r de ecuación \frac{x-5}{-2} = y = \frac{z-6}{-3} a) [0,5 puntos] Determina la posición relativa de \pi y r. b) [1 punto] Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es perpendicular a \pi. c) [1 punto] Halla las ecuaciones paramétricas del plano paralelo a \pi que contiene a r.

Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2014 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera el plano

\pi

de ecuación

2x+y-z+2 = 0

y la recta

r

de ecuación

\frac{x-5}{-2} = y = \frac{z-6}{-3}

a) [0,5 puntos] Determina la posición relativa de

\pi

r

.

b) [1 punto] Halla la ecuación general del plano que contiene a

r

y es perpendicular a

\pi

.

c) [1 punto] Halla las ecuaciones paramétricas del plano paralelo a

\pi

que contiene a

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{n} = (2,1,-1), \quad A(5,0,6), \quad \vec{u} = (-2,1,-3)\;}

\boxed{\;\text{a) } \vec{u}\cdot\vec{n} = 0 \ \text{ y } \ A\notin\pi \;\Longrightarrow\; r \text{ paralela a } \pi \text{ (no contenida)}\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec{n_{1}} = \vec{u}\times\vec{n} = (2,-8,-4)\sim(1,-4,-2): \quad x-4y-2z+7 = 0\;}

\boxed{\;\text{c) } 2x+y-z-4 = 0: \quad (x,y,z) = (5,0,6)+\lambda(-2,1,-3)+\mu(1,-2,0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo depende de comparar

\vec{u}

(director de

r

) con

\vec{n}

(normal de

\pi

a) Se calcula $\vec{u}\cdot\vec{n}$ . Si es $0$ , la recta es paralela al plano (o está contenida, según pertenezca o no un punto suyo); si no, lo corta.
b) El plano buscado contiene $\vec{u}$ y, por ser perpendicular a $\pi$ , también contiene la dirección $\vec{n}$ . Su normal es $\vec{u}\times\vec{n}$ .
c) Un plano paralelo a $\pi$ tiene el mismo normal $\vec{n}$ ; solo cambia el término independiente, que se ajusta imponiendo que pase por un punto de $r$ . Este apartado solo tiene solución porque $r$ es paralela a $\pi$ , lo cual se ha visto en a).

Desarrollo

Datos.

\pi: \; \vec{n} = (2,\, 1,\, -1) \qquad\qquad r: \; A(5,\,0,\,6), \quad \vec{u} = (-2,\, 1,\, -3)

a) Posición relativa.

\vec{u}\cdot\vec{n} = (-2)(2)+(1)(1)+(-3)(-1) = -4+1+3 = 0

La recta es paralela al plano. ¿Está contenida? Sustituimos

A(5,0,6)

2(5)+0-6+2 = 6 \neq 0 \;\Longrightarrow\; A\notin\pi

\textbf{La recta } r \textbf{ es paralela al plano } \pi \textbf{ y no está contenida en él}

b) El plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$ . Contiene la dirección

\vec{u}

y, al ser perpendicular a

\pi

, también la dirección

\vec{n}

. Su normal es

\vec{n_{1}} = \vec{u}\times\vec{n} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & -3 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right|

\vec{i}: (1)(-1)-(-3)(1) = -1+3 = 2

\vec{j}: -\bigl[(-2)(-1)-(-3)(2)\bigr] = -\bigl[2+6\bigr] = -8

\vec{k}: (-2)(1)-(1)(2) = -4

\vec{n_{1}} = (2,\, -8,\, -4) \;\sim\; (1,\, -4,\, -2)

Imponiendo que pase por

A(5,0,6)

5-0-12+D = 0 \;\Longrightarrow\; D = 7

x-4y-2z+7 = 0

Comprobaciones.

\;\vec{u}\cdot(1,-4,-2) = -2-4+6 = 0\;\checkmark

\;\vec{n}\cdot(1,-4,-2) = 2-4+2 = 0\;\checkmark

(los normales perpendiculares confirman que los planos lo son).

c) El plano paralelo a $\pi$ que contiene a $r$ . Mismo normal

\vec{n} = (2,1,-1)

2x+y-z+D = 0

Pasando por

A(5,0,6)

10+0-6+D = 0 \;\Longrightarrow\; D = -4 \qquad\Longrightarrow\qquad 2x+y-z-4 = 0

Ecuaciones paramétricas. Hacen falta un punto y dos direcciones del plano. Una es

\vec{u} = (-2,1,-3)

(porque el plano contiene a

r

); otra, cualquier vector independiente ortogonal a

\vec{n}

, por ejemplo

\vec{w} = (1,-2,0)

\vec{w}\cdot\vec{n} = 2-2+0 = 0 \;\checkmark

\begin{cases} x = 5-2\lambda+\phantom{2}\mu \\ y = \phantom{5+2}\lambda-2\mu \\ z = 6-3\lambda\phantom{{}+2\mu}\end{cases} \qquad \lambda,\mu\in\mathbb{R}

Comprobación en

2x+y-z-4 = 0

2(5-2\lambda+\mu)+(\lambda-2\mu)-(6-3\lambda)-4 = 10-4\lambda+2\mu+\lambda-2\mu-6+3\lambda-4 = 0 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El apartado a) no es decorativo: si $r$ cortara a $\pi$ , el apartado c) sería imposible (no existiría un plano paralelo a $\pi$ que la contuviera). Comprobar además que $A\notin\pi$ distingue "paralela" de "contenida".

"Perpendicular a $\pi$ " significa que el plano contiene la dirección $\vec{n}$ , no que su normal sea $\vec{n}$ . Por eso el normal buscado es $\vec{u}\times\vec{n}$ , y la comprobación es que los dos normales sean perpendiculares entre sí.

Para las paramétricas de c), aprovecha que $\vec{u}$ ya es una dirección del plano; solo hay que buscar la segunda, ortogonal a $\vec{n}$ e independiente de $\vec{u}$ .