Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2021 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque B). Considera el punto

P(1, 2, 6)

y el plano

\pi \equiv 2x - y + z = 0

.

a) [1,25 puntos] Halla las ecuaciones de los planos paralelos a

\pi

cuya distancia a éste sea

\sqrt{6}

unidades.

b) [1,25 puntos] Halla el simétrico del punto

P

respecto al plano

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad 2x - y + z + 6 = 0 \qquad \text{y} \qquad 2x - y + z - 6 = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad P'(-3,\, 4,\, 4)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados giran alrededor del mismo vector normal

\vec{n} = (2,-1,1)

, cuyo módulo es

\sqrt{6}

: exactamente la distancia que pide el apartado a). Esa coincidencia hace que los números salgan redondos.

En a), un plano paralelo a $\pi$ es $2x - y + z + d = 0$ , con una sola incógnita. La distancia entre planos paralelos es $\dfrac{|d_{1}-d_{2}|}{\lVert\vec{n}\rVert}$ , y el valor absoluto da dos soluciones, una a cada lado.
En b), el simétrico sale de la fórmula habitual, que aquí se simplifica porque el cociente vale exactamente $1$ .

Desarrollo

Vector normal y su módulo.

\vec{n} = (2,\, -1,\, 1), \qquad \bigl\lVert\vec{n}\bigr\rVert = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}

a) Planos paralelos. Todo plano paralelo a

\pi

tiene la forma

\pi' \equiv 2x - y + z + d = 0

La distancia entre

\pi

(que tiene término independiente

0

) y

\pi'

d(\pi, \pi') = \frac{|d - 0|}{\bigl\lVert\vec{n}\bigr\rVert} = \frac{|d|}{\sqrt{6}}

Imponiendo que valga

\sqrt{6}

\frac{|d|}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \;\Longrightarrow\; |d| = 6 \;\Longrightarrow\; d = 6 \;\text{ o }\; d = -6

Los dos planos son

\pi'_{1} \equiv 2x - y + z + 6 = 0 \qquad \text{y} \qquad \pi'_{2} \equiv 2x - y + z - 6 = 0

(Comprobación: el punto $(0,0,0)$ pertenece a $\pi$ , y su distancia a $\pi'_{1}$ es $\frac{|0-0+0+6|}{\sqrt6} = \frac{6}{\sqrt6} = \sqrt{6}\;\checkmark$ )

b) Simétrico de $P(1,2,6)$ .

Valor del plano en $P$ :

2\cdot 1 - 2 + 6 = 6

Aplicando la fórmula del simétrico (con

\lVert\vec{n}\rVert^{2} = 6

P' = P - 2\,\frac{2x_{0} - y_{0} + z_{0}}{\bigl\lVert\vec{n}\bigr\rVert^{2}}\,\vec{n} = (1, 2, 6) - 2\cdot\frac{6}{6}\,(2, -1, 1)

P' = (1,\, 2,\, 6) - (4,\, -2,\, 2) = (-3,\, 4,\, 4)

Comprobaciones.

El punto medio de $P$ y $P'$ es $M(-1, 3, 5)$ , y pertenece al plano: $\;-2 - 3 + 5 = 0\;\checkmark$
El vector $\vec{PP'} = (-4, 2, -2) = -2\,(2,-1,1)$ es paralelo a $\vec{n}\;\checkmark$
La distancia de $P$ al plano es $\frac{|6|}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$ , y la de $P$ a $P'$ es $\lVert(-4,2,-2)\rVert = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ : el doble, como debe ser $\checkmark$

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Consejo

Los planos del apartado a) son dos, uno a cada lado de $\pi$ . El valor absoluto de la fórmula de la distancia siempre desdobla la ecuación, y dar solo uno deja media pregunta sin contestar.

En b), verifica el simétrico con las dos condiciones que lo definen: el punto medio pertenece al plano y el vector $\vec{PP'}$ es paralelo a la normal. Son diez segundos y detectan al instante cualquier error de signo, que es de lejos el fallo más común en los simétricos.