Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2014 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Sea

r

la recta que pasa por los puntos

A(1,0,-1)

B(2,-1,3)

.

a) [1,25 puntos] Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta

r

.

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a

r

y pasa por el origen de coordenadas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = \vec{AB} = (1,-1,4), \qquad \vec{AO} = (-1,0,1), \qquad \vec{AO}\times\vec{u} = (1,5,1)\;}

\boxed{\;\text{a) } d(O,r) = \frac{3\sqrt3}{3\sqrt2} = \frac{\sqrt6}{2}\;}

\boxed{\;\text{b) } Q(t) = (1+t,-t,-1+4t), \ \vec{OQ}\cdot\vec{u} = 18t-3 = 0 \Rightarrow t = \tfrac16\;}

\boxed{\;Q\left(\tfrac76,-\tfrac16,-\tfrac13\right); \quad \frac{x}{7} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{-2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados giran alrededor del pie de la perpendicular desde el origen

O

a la recta

r

a) Se puede hacer con la fórmula $\;d(O,r) = \dfrac{\lVert\vec{AO}\times\vec{u}\rVert}{\lVert\vec{u}\rVert}$ , que es directa.
b) La recta pedida pasa por $O$ y por el pie $Q$ de esa perpendicular. Para hallarlo, se impone $\;\vec{OQ}\cdot\vec{u} = 0$ sobre el punto genérico de $r$ .

Como comprobación cruzada,

\lVert\vec{OQ}\rVert

debe coincidir con la distancia de a).

Desarrollo

El director de $r$ .

\vec{u} = \vec{AB} = (2-1,\; -1-0,\; 3+1) = (1,\, -1,\, 4)

a) La distancia. Con

\vec{AO} = O-A = (-1,\, 0,\, 1)

\vec{AO}\times\vec{u} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 4\end{array}\right|

\vec{i}: (0)(4)-(1)(-1) = 1 \qquad \vec{j}: -\bigl[(-1)(4)-(1)(1)\bigr] = 5 \qquad \vec{k}: (-1)(-1)-(0)(1) = 1

\vec{AO}\times\vec{u} = (1,\, 5,\, 1)

Los módulos.

\lVert(1,5,1)\rVert = \sqrt{1+25+1} = \sqrt{27} = 3\sqrt3 \qquad \lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt2

d(O,r) = \frac{3\sqrt3}{3\sqrt2} = \frac{\sqrt3}{\sqrt2} = \frac{\sqrt6}{2} \approx 1{,}22

b) El pie de la perpendicular. Punto genérico de

r

Q(t) = A+t\,\vec{u} = \bigl(1+t,\; -t,\; -1+4t\bigr)

\vec{OQ}\cdot\vec{u} = (1+t)(1)+(-t)(-1)+(-1+4t)(4) = 1+t+t-4+16t = 18t-3 = 0

t = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}

Q = \left(1+\frac16,\; -\frac16,\; -1+\frac46\right) = \left(\frac76,\; -\frac16,\; -\frac13\right)

La recta pedida. Pasa por

O

con dirección

\vec{OQ}

. Multiplicando por

6

para quitar denominadores:

\vec{v} = 6\,\vec{OQ} = (7,\, -1,\, -2)

\begin{cases} x = \phantom{-}7\lambda \\ y = -\phantom{7}\lambda \\ z = -2\lambda\end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{x}{7} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{-2}

Comprobación cruzada.

\vec{OQ}\cdot\vec{u} = \frac{7}{6}+\frac16-\frac43 = \frac{7+1-8}{6} = 0 \;\checkmark

\lVert\vec{OQ}\rVert = \frac{\sqrt{49+1+4}}{6} = \frac{\sqrt{54}}{6} = \frac{3\sqrt6}{6} = \frac{\sqrt6}{2} \quad \checkmark \ (\text{coincide con a})

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La distancia sale más rápido con la fórmula del producto vectorial, sin hallar el pie. Pero como b) sí lo necesita, calcularlo también sirve de comprobación: los dos caminos deben dar el mismo número.

Para el pie, la condición es $\vec{OQ}\perp\vec{u}$ con $Q$ sobre la recta. Un error típico es imponer la perpendicularidad con $\vec{AO}$ en lugar de con el director.

Multiplica el director por $6$ para quitar denominadores: $(7,-1,-2)$ define la misma recta y es mucho más cómodo de escribir y comprobar.