Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2015 · Reserva 6 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas para la recta

r

, que contiene al punto

P(3,-5,4)

y corta perpendicularmente a la recta

s \equiv \frac{x-4}{5} = \frac{y-8}{-3} = \frac{z}{4}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;s: A(4,8,0), \ \vec{u_{s}} = (5,-3,4); \qquad Q(t) = (4+5t,\, 8-3t,\, 4t)\;}

\boxed{\;\vec{PQ}\cdot\vec{u_{s}} = 50t-50 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 1, \quad Q(9,5,4)\;}

\boxed{\;\vec{PQ} = (6,10,0) \sim (3,5,0)\;}

\boxed{\;r \equiv \begin{cases} x = 3+3\lambda \\ y = -5+5\lambda \\ z = 4\end{cases}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La recta pedida pasa por

P

y corta a

s

en un punto

Q

formando ángulo recto. Es decir:

Q

es el pie de la perpendicular desde

P

s

.

El procedimiento es directo:

Escribir un punto genérico $Q(t)$ de $s$ .
Imponer $\;\vec{PQ}\cdot\vec{u_{s}} = 0$ : una ecuación de primer grado en $t$ .
Con $Q$ ya conocido, la recta $r$ pasa por $P$ con dirección $\vec{PQ}$ .

(Es el mismo cálculo que se hace para la distancia de un punto a una recta, pero aquí lo que se pide es la propia recta.)

Desarrollo

Datos de $s$ . De la ecuación continua:

A(4,\,8,\,0), \qquad \vec{u_{s}} = (5,\, -3,\, 4)

Punto genérico de $s$ .

Q(t) = (4+5t,\; 8-3t,\; 4t)

El vector $\vec{PQ}$ .

\vec{PQ} = \bigl(4+5t-3,\; 8-3t+5,\; 4t-4\bigr) = \bigl(1+5t,\; 13-3t,\; 4t-4\bigr)

Condición de perpendicularidad.

\vec{PQ}\cdot\vec{u_{s}} = 5(1+5t)-3(13-3t)+4(4t-4) = 0

5+25t-39+9t+16t-16 = 50t-50 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 1

El punto de corte.

Q = (4+5,\; 8-3,\; 4) = (9,\, 5,\, 4)

El director de $r$ .

\vec{PQ} = (9-3,\; 5+5,\; 4-4) = (6,\, 10,\, 0) \;\sim\; (3,\, 5,\, 0)

Comprobación.

\;\vec{PQ}\cdot\vec{u_{s}} = 30-30+0 = 0

\;\checkmark

Las ecuaciones paramétricas, por

P(3,-5,4)

con dirección

(3,5,0)

r \equiv \begin{cases} x = 3+3\lambda \\ y = -5+5\lambda \\ z = 4\end{cases} \qquad \lambda\in\mathbb{R}

(Para $\lambda = 2$ se obtiene $(9,5,4) = Q$ : la recta corta a $s$ , como debe ser. Y la distancia de $P$ a $s$ es $\lVert\vec{PQ}\rVert = \sqrt{36+100} = 2\sqrt{34}$ .)

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Consejo

La clave es que la recta pedida corta a $s$ : por eso el punto $Q$ está en $s$ y basta con un parámetro. Si solo fuese perpendicular (sin cortar) habría infinitas soluciones.

Impón $\vec{PQ}\cdot\vec{u_{s}} = 0$ , no $\vec{PQ}\cdot\vec{PA} = 0$ . El vector con el que hay que formar ángulo recto es el director de $s$ .

Puedes simplificar el director dividiendo por el factor común ( $(6,10,0)\to(3,5,0)$ ): es la misma recta. Y comprueba que $Q$ se obtiene para algún valor del parámetro, señal de que efectivamente la corta.