Ejercicio 8 (bloque B). Considera el punto A(-1, 1, 3) y la recta r determinada por los puntos B(2,1,1) y C(0,1,-1). a) [1,5 puntos] Halla la distancia del punto A a la recta r. b) [1 punto] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son A, B y C.

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2023 · Junio

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque B). Considera el punto

A(-1, 1, 3)

y la recta

r

determinada por los puntos

B(2,1,1)

C(0,1,-1)

.

a) [1,5 puntos] Halla la distancia del punto

A

a la recta

r

.

b) [1 punto] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son

A

B

C

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad d(A, r) = \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3{,}54 \ \text{unidades}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{Área}(ABC) = 5 \ \text{u}^{2}\;}

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Estrategia

Los dos apartados salen del mismo producto vectorial, y esa es la gracia del ejercicio: si en a) se usa la fórmula

d(A, r) = \frac{\bigl\lVert \vec{BA} \times \vec{BC} \bigr\rVert}{\bigl\lVert \vec{BC} \bigr\rVert}

entonces en b) ya está calculado el numerador, porque el área del triángulo es justo la mitad de

\lVert \vec{BA} \times \vec{BC} \rVert

. Conviene hacerlos en ese orden y aprovechar el trabajo.

La razón geométrica es transparente:

\lVert \vec{BA} \times \vec{BC} \rVert

es el área del paralelogramo, que vale base por altura, con base

\lVert \vec{BC} \rVert

y altura

d(A,r)

Desarrollo

Vectores.

\vec{BA} = A - B = (-3, 0, 2), \qquad \vec{BC} = C - B = (-2, 0, -2)

Producto vectorial.

\vec{BA} \times \vec{BC} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 0 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \end{array}\right|

= \bigl(0\cdot(-2) - 2\cdot 0\bigr)\vec{i} - \bigl((-3)(-2) - 2\cdot(-2)\bigr)\vec{j} + \bigl((-3)\cdot 0 - 0\cdot(-2)\bigr)\vec{k} = (0, -10, 0)

\bigl\lVert \vec{BA} \times \vec{BC} \bigr\rVert = 10

(Que el resultado sea paralelo al eje $OY$ no es casualidad: los tres puntos tienen $y = 1$ , así que el triángulo vive en el plano $y = 1$ y su normal apunta en la dirección $\vec{j}$ .)

a) Distancia.

\bigl\lVert \vec{BC} \bigr\rVert = \sqrt{(-2)^{2} + 0^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

d(A, r) = \frac{\bigl\lVert \vec{BA} \times \vec{BC} \bigr\rVert}{\bigl\lVert \vec{BC} \bigr\rVert} = \frac{10}{2\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3{,}54 \ \text{unidades}

b) Área del triángulo.

\text{Área} = \frac{1}{2}\bigl\lVert \vec{BA} \times \vec{BC} \bigr\rVert = \frac{10}{2} = 5 \ \text{unidades cuadradas}

Comprobación cruzada. El área del triángulo también es

\frac{1}{2}\cdot\text{base}\cdot\text{altura}

, tomando como base

\lVert\vec{BC}\rVert = 2\sqrt{2}

y como altura la distancia del apartado a):

\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot\frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{10\cdot 2}{2} = 5 \quad \checkmark

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Consejo

Haz los apartados en orden y reutilizando: el producto vectorial $\vec{BA}\times\vec{BC}$ sirve para los dos. Calcularlo dos veces (o resolver a) con el método largo del plano perpendicular y el pie de la perpendicular) es perder diez minutos de examen.

Cuidado con el vector del numerador: es $\vec{BA} \times \vec{BC}$ , con $B$ (o $C$ ) como punto de la recta y $A$ el punto exterior. Si escribes $\vec{AB} \times \vec{AC}$ el módulo sale igual —y el área también—, pero conviene tener claro que en la fórmula de la distancia uno de los vectores tiene que ser el director de la recta.