Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2020 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 8. Considera el plano

\pi \equiv 2x - y + z - 3 = 0

, la recta

r \equiv \begin{cases} x = \phantom{-}3 + \lambda \\ y = \phantom{-}1 - 2\lambda \\ z = -2 - \phantom{2}\lambda\end{cases}

y el punto

P(1,1,2)

.

a) [1,25 puntos] Determina la ecuación general del plano perpendicular a

\pi

, paralelo a

r

y que pasa por el punto

P

.

b) [1,25 puntos] Calcula el punto simétrico de

P

respecto de la recta

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{n} = \vec{n}_{\pi}\times\vec{d}_{r} \parallel (1,1,-1) \;\Longrightarrow\; x + y - z = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{MP}\cdot\vec{d}_{r} = 0 \Rightarrow \lambda = -1 \Rightarrow M(2,3,-1); \qquad P' = 2M - P = (3,\, 5,\, -4)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), el plano buscado tiene que cumplir dos condiciones sobre su normal

\vec{n}

Perpendicular a $\pi$ $\Rightarrow$ $\vec{n}\perp\vec{n}_{\pi}$ .
Paralelo a $r$ $\Rightarrow$ $\vec{n}\perp\vec{d}_{r}$ .

Perpendicular a dos vectores conocidos: producto vectorial. Después, se hace pasar por

P

.

En b), el simétrico respecto de una recta (no de un plano) se calcula igual de bien con el pie de la perpendicular. Lo más limpio es imponer que el vector que va de un punto genérico

M(\lambda)

de la recta hasta

P

sea perpendicular al director, resolver el

\lambda

y usar

P' = 2M - P

Desarrollo

Datos.

\vec{n}_{\pi} = (2,\, -1,\, 1), \qquad \vec{d}_{r} = (1,\, -2,\, -1), \qquad R(3,\, 1,\, -2) \in r

a) Normal del plano buscado.

\vec{n} = \vec{n}_{\pi}\times\vec{d}_{r} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (-1)(-1) - (1)(-2) = 1 + 2 = 3

\vec{j}: \; -\Bigl[(2)(-1) - (1)(1)\Bigr] = -(-2 - 1) = 3

\vec{k}: \; (2)(-2) - (-1)(1) = -4 + 1 = -3

\vec{n} = (3,\, 3,\, -3) \;\parallel\; (1,\, 1,\, -1)

Ecuación, imponiendo el paso por $P(1,1,2)$ .

1\,(x - 1) + 1\,(y - 1) - 1\,(z - 2) = 0

x + y - z - 1 - 1 + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; x + y - z = 0

Comprobaciones.

Perpendicular a $\pi$ : $\;(1,1,-1)\cdot(2,-1,1) = 2 - 1 - 1 = 0\;\checkmark$
Paralelo a $r$ : $\;(1,1,-1)\cdot(1,-2,-1) = 1 - 2 + 1 = 0\;\checkmark$ , y $R(3,1,-2)$ da $3 + 1 + 2 = 6 \neq 0$ , así que la recta no está contenida en el plano.
Pasa por $P$ : $\;1 + 1 - 2 = 0\;\checkmark$

b) Pie de la perpendicular desde $P$ a $r$ . Un punto genérico de la recta es

M(\lambda) = \bigl(3 + \lambda,\; 1 - 2\lambda,\; -2 - \lambda\bigr)

\vec{MP} = P - M = \bigl(1 - 3 - \lambda,\; 1 - 1 + 2\lambda,\; 2 + 2 + \lambda\bigr) = \bigl(-2 - \lambda,\; 2\lambda,\; 4 + \lambda\bigr)

Imponemos

\vec{MP}\perp\vec{d}_{r}

(-2-\lambda)(1) + (2\lambda)(-2) + (4+\lambda)(-1) = 0

-2 - \lambda - 4\lambda - 4 - \lambda = 0 \;\Longrightarrow\; -6\lambda - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -1

M = \bigl(3 - 1,\; 1 + 2,\; -2 + 1\bigr) = (2,\, 3,\, -1)

Simétrico.

M

es el punto medio de

P

P'

, luego

P' = 2M - P

P' = \bigl(4 - 1,\; 6 - 1,\; -2 - 2\bigr) = (3,\, 5,\, -4)

Comprobación.

\;\vec{MP'} = (1, 2, -3)

\vec{MP} = (-1, -2, 3)

son opuestos

\checkmark

, y

P'

está a la misma distancia de

r

que

P

\bigl\lVert\vec{MP}\bigr\rVert = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} = \bigl\lVert\vec{MP'}\bigr\rVert \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Traduce cada palabra del enunciado a una condición sobre el normal: "perpendicular a $\pi$ " y "paralelo a $r$ " son ambas ortogonalidades, y dos ortogonalidades se resuelven con un producto vectorial. Nada de intentar combinar $\vec{n}_{\pi}$ y $\vec{d}_{r}$ sumándolos.

Para el simétrico respecto de una recta, el pie no se obtiene sustituyendo en una ecuación (eso es lo que se hace con un plano): hay que parametrizar la recta e imponer perpendicularidad con el director. Y el último paso, $P' = 2M - P$ , es el mismo en ambos casos.

Comprobar que $\lVert\vec{MP}\rVert = \lVert\vec{MP'}\rVert$ es una verificación rápida y convincente que casi nadie escribe.