Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2018 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera las rectas

r \equiv \frac{x+1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{3} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} 2x - 3y = -5 \\ \phantom{2x + {}} y - 2z = -1\end{cases}

a) [1 punto] Estudia y determina la posición relativa de

r

s

.

b) [1,5 puntos] Calcula la distancia entre

r

s

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r: R(-1,0,-1),\, \vec{u} = (2,1,3); \qquad s: S(-1,1,1),\, \vec{v} = (3,2,1)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{No paralelas y } \bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] = 9 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \text{se cruzan}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad d(r,s) = \frac{\bigl|[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}]\bigr|}{\lVert\vec{u}\times\vec{v}\rVert} = \frac{9}{5\sqrt3} = \frac{3\sqrt3}{5} \approx 1{,}04\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primero hay que poner

s

en forma vectorial: su director sale del producto vectorial de los normales de los dos planos, y un punto se obtiene dando un valor a una incógnita.

Después, el esquema de siempre: ¿son paralelas? Si no, el producto mixto decide entre "se cortan" (vale

0

) y "se cruzan" (no vale

0

).

Y si se cruzan, la distancia se calcula con

d(r,s) = \frac{\bigl|\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr]\bigr|}{\bigl\lVert\vec{u}\times\vec{v}\bigr\rVert}

—la misma cantidad del producto mixto que ya se ha calculado en a), dividida por el módulo del producto vectorial.

Desarrollo

Elementos de $r$ .

R(-1,\, 0,\, -1), \qquad \vec{u} = (2,\, 1,\, 3)

Elementos de $s$ . Los normales son

\vec{n}_{1} = (2,-3,0)

\vec{n}_{2} = (0,1,-2)

\vec{v} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -3 & \phantom{-}0 \\ 0 & \phantom{-}1 & -2\end{array}\right|

\vec{i}: \; (-3)(-2) - (0)(1) = 6 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(2)(-2) - 0\bigr] = 4 \qquad \vec{k}: \; (2)(1) - (-3)(0) = 2

\vec{v} = (6,\, 4,\, 2) \;\parallel\; (3,\, 2,\, 1)

Un punto de $s$ . Haciendo

y = 1

: de la primera,

2x = -5 + 3 = -2 \Rightarrow x = -1

; de la segunda,

1 - 2z = -1 \Rightarrow z = 1

S(-1,\, 1,\, 1) \in s

a) ¿Paralelas? Los directores

(2,1,3)

(3,2,1)

no son proporcionales (

\tfrac23 \neq \tfrac12

), luego no lo son.

Producto mixto.

\vec{RS} = S - R = (0,\, 1,\, 2)

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right| = 2\,(4 - 1) - 3\,(2 - 3) + 0 = 6 + 3 = 9

(Con $\vec{v} = (3,2,1)$ ; usando $(6,4,2)$ el mixto valdría $18$ , el doble, pero la conclusión es la misma.)

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] \neq 0 \;\Longrightarrow\; r \text{ y } s \textbf{ se cruzan}

b) Distancia entre rectas que se cruzan.

\vec{u}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (1)(1) - (3)(2) = -5 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(2)(1) - (3)(3)\bigr] = 7 \qquad \vec{k}: \; (2)(2) - (1)(3) = 1

\vec{u}\times\vec{v} = (-5,\, 7,\, 1), \qquad \bigl\lVert\cdot\bigr\rVert = \sqrt{25 + 49 + 1} = \sqrt{75} = 5\sqrt3

d(r,s) = \frac{|9|}{5\sqrt3} = \frac{9}{5\sqrt3} = \frac{9\sqrt3}{15} = \frac{3\sqrt{3}}{5} \approx 1{,}04 \ \text{unidades}

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Consejo

Los dos apartados comparten el producto mixto: el que decide la posición relativa en a) es el numerador de la distancia en b). No lo recalcules; anótalo y reutilízalo.

Cuidado al simplificar el director: si usas $(6,4,2)$ en vez de $(3,2,1)$ , el mixto se duplica y también el módulo del producto vectorial, así que la distancia sale igual. Lo que no puedes es mezclar los dos (mixto con uno y producto vectorial con el otro).

Y descarta el paralelismo antes del mixto: si los directores fueran proporcionales, el mixto sería $0$ y concluirías erróneamente "se cortan" cuando serían paralelas.