Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2013 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Del paralelogramo

ABCD

se conocen los vértices

A(-1,0,3)

B(2,-1,1)

C(3,2,-3)

.

a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo.

b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal

\overline{AC}

del paralelogramo.

c) [0,5 puntos] Calcula las coordenadas del vértice $D$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (3,-1,-2), \quad \vec{BC} = (1,3,-4), \quad \vec{AC} = (4,2,-6)\;}

\boxed{\;\text{a) } \vec{n} = \vec{AB}\times\vec{BC} = (10,10,10)\sim(1,1,1): \quad x+y+z-2 = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } \frac{x+1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-3}{-3}\;}

\boxed{\;\text{c) } D = A+\vec{BC} = (0,\, 3,\, -1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Con los vértices en el orden

A

B

C

D

a) El plano contiene $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$ (dos lados consecutivos). Su normal es $\vec{AB}\times\vec{BC}$ .
b) La diagonal $\overline{AC}$ une los vértices opuestos $A$ y $C$ : recta por $A$ con dirección $\vec{AC}$ .
c) En un paralelogramo $ABCD$ se cumple $\;\vec{AD} = \vec{BC}$ , luego

D = A+\vec{BC}

(Equivalentemente, $D = A+C-B$ , porque las diagonales se cortan en su punto medio.)

Desarrollo

Los vectores.

\vec{AB} = (3,\, -1,\, -2) \qquad \vec{BC} = (1,\, 3,\, -4) \qquad \vec{AC} = (4,\, 2,\, -6)

a) El plano.

\vec{n} = \vec{AB}\times\vec{BC} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & -2 \\ 1 & 3 & -4\end{array}\right|

\vec{i}: (-1)(-4)-(-2)(3) = 4+6 = 10

\vec{j}: -\bigl[(3)(-4)-(-2)(1)\bigr] = -\bigl[-12+2\bigr] = 10

\vec{k}: (3)(3)-(-1)(1) = 9+1 = 10

\vec{n} = (10,\, 10,\, 10) \;\sim\; (1,\, 1,\, 1)

Por

A(-1,0,3)

\;-1+0+3+D = 0 \Rightarrow D = -2

\pi \equiv x+y+z-2 = 0

Comprobaciones.

B(2,-1,1)

\;2-1+1-2 = 0\;\checkmark

;

\;C(3,2,-3)

\;3+2-3-2 = 0\;\checkmark

b) La diagonal $\overline{AC}$ . Por

A(-1,0,3)

con dirección

\vec{AC} = (4,2,-6)\sim(2,1,-3)

\begin{cases} x = -1+2\lambda \\ y = \phantom{-1+}\lambda \\ z = \phantom{-}3-3\lambda\end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{x+1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-3}{-3}

(Para $\lambda = 2$ se obtiene $(3,2,-3) = C$ $\checkmark$ )

c) El vértice $D$ .

D = A+\vec{BC} = (-1+1,\; 0+3,\; 3-4) = (0,\, 3,\, -1)

Comprobaciones.

\vec{AD} = (1,3,-4) = \vec{BC} \;\checkmark \qquad \vec{DC} = (3,-1,-2) = \vec{AB} \;\checkmark

D\in\pi: \ 0+3-1-2 = 0 \;\checkmark

(También: el punto medio de $\overline{AC}$ es $\left(1,1,0\right)$ , y el de $\overline{BD}$ es $\left(\frac{2+0}{2},\frac{-1+3}{2},\frac{1-1}{2}\right) = (1,1,0)$ : las diagonales se cortan en su punto medio $\checkmark$ )

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con los vértices en orden $A,B,C,D$ , la diagonal es $\overline{AC}$ (vértices opuestos), no $\overline{AB}$ , que es un lado. Y $\vec{AD} = \vec{BC}$ , no $\vec{AD} = \vec{CB}$ .

El vértice $D$ sale sin resolver nada: $D = A+\vec{BC}$ . Otra vía equivalente es $D = A+C-B$ , que expresa que las diagonales se cortan en su punto medio.

Comprueba que $D$ está en el plano de a) y que las diagonales tienen el mismo punto medio. Son dos verificaciones rápidas que validan todo el ejercicio.