Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2019 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera la recta

r \equiv \frac{x-4}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{5}

y el plano

\pi \equiv 2x + y - z + 3 = 0

.

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación general del plano perpendicular a

\pi

que contiene a

r

.

b) [1,25 puntos] Calcula la distancia entre

r

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{n}\cdot\vec{u} = 0 \text{ y } R\notin\pi \;\Longrightarrow\; r \parallel \pi\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{n}_{1} = \vec{u}\times\vec{n} = (-6,12,0) \parallel (1,-2,0) \;\Longrightarrow\; x - 2y - 4 = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad d(r,\pi) = \frac{10}{\sqrt6} = \frac{5\sqrt6}{3} \approx 4{,}08\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primero conviene establecer la posición relativa de recta y plano, porque condiciona el apartado b): si se cortan, la distancia sería

0

\vec{n}\cdot\vec{u} = 0 \;\Longrightarrow\; \text{paralela o contenida} \;\Longrightarrow\; \text{decidir con un punto}

En a), el plano buscado contiene a

r

(luego su normal

\perp\vec{u}

) y es perpendicular a

\pi

(luego su normal

\perp\vec{n}

): el producto vectorial

\vec{u}\times\vec{n}

da esa normal.

Desarrollo

Elementos.

R(4,\, 0,\, 1) \in r, \qquad \vec{u} = (2,\, 1,\, 5), \qquad \vec{n} = (2,\, 1,\, -1)

Posición relativa.

\vec{n}\cdot\vec{u} = 4 + 1 - 5 = 0

La recta es paralela al plano o está contenida en él. Probamos

R

2\cdot 4 + 0 - 1 + 3 = 8 - 1 + 3 = 10 \neq 0

R\notin\pi

: estrictamente paralelos.

a) Plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$ .

\vec{n}_{1} = \vec{u}\times\vec{n} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & \phantom{-}5 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (1)(-1) - (5)(1) = -1 - 5 = -6

\vec{j}: \; -\Bigl[(2)(-1) - (5)(2)\Bigr] = -(-2 - 10) = 12

\vec{k}: \; (2)(1) - (1)(2) = 0

\vec{n}_{1} = (-6,\, 12,\, 0) \;\parallel\; (1,\, -2,\, 0)

Ecuación, imponiendo el paso por

R(4,0,1)

1\,(x - 4) - 2\,(y - 0) + 0\,(z - 1) = 0

x - 2y - 4 = 0

Comprobaciones.

Contiene a $r$ : un punto genérico es $(4+2t,\, t,\, 1+5t)$ , y $(4+2t) - 2t - 4 = 0\;\checkmark$ para todo $t$ .
Perpendicular a $\pi$ : $\;(1,-2,0)\cdot(2,1,-1) = 2 - 2 + 0 = 0\;\checkmark$

(Nótese que la $z$ no aparece: el plano es paralelo al eje $OZ$ .)

b) Distancia. Al ser

r

paralela a

\pi

, la distancia es la de cualquiera de sus puntos:

d(r,\pi) = d(R,\pi) = \frac{\bigl|2\cdot 4 + 0 - 1 + 3\bigr|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{6}}

Racionalizando:

d(r,\pi) = \frac{10\sqrt6}{6} = \frac{5\sqrt6}{3} \approx 4{,}08 \ \text{unidades}

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Consejo

Empieza siempre por la posición relativa: aquí es la que da sentido al apartado b). Si la recta cortara al plano, la "distancia entre $r$ y $\pi$ " sería simplemente $0$ , y aplicar la fórmula punto-plano daría un número sin significado.

No confundas los dos planos que aparecen: el buscado en a) es perpendicular a $\pi$ y contiene a $r$ ; su normal es $\vec{u}\times\vec{n}$ , no $\vec{n}$ ni $\vec{u}$ .

Simplifica el vector normal antes de escribir la ecuación — $(-6,12,0)$ es $(1,-2,0)$ — y comprueba con un punto genérico de la recta que el plano la contiene de verdad. Es una verificación de dos líneas que detecta cualquier error de signo.