Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2011 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Dados el plano

\pi

de ecuación

\;x+2y-z = 0\;

y la recta

r

de ecuaciones

r \equiv \begin{cases} 3x-y = 5 \\ x+y-4z = -13\end{cases}

a) [0,75 puntos] Halla el punto de intersección del plano

\pi

y la recta

r

.

b) [1,75 puntos] Halla el punto simétrico del punto

Q(1,-2,3)

respecto del plano

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (4,12,4)\sim(1,3,1), \quad P_{0}(-2,-11,0)\;}

\boxed{\;\text{a) } 6t-24 = 0 \Rightarrow t = 4 \Rightarrow I(2,\,1,\,4)\;}

\boxed{\;\text{b) Recta por } Q \text{ con } \vec{n} = (1,2,-1): \ 6s-6 = 0 \Rightarrow s = 1, \ M(2,0,2)\;}

\boxed{\;Q' = 2M-Q = (3,\,2,\,1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Se parametriza $r$ y se sustituye en la ecuación del plano: una ecuación de primer grado en el parámetro.
b) Receta del simétrico respecto de un plano:

1. recta por

Q

perpendicular a

\pi

(director

=\vec{n}

),
2. corte con

\pi

\to

pie

M

,
3.

Q' = 2M-Q

(porque

M

es el punto medio de

Q

Q'

Desarrollo

El director de $r$ . Los normales de sus dos planos son

\vec{n_{1}} = (3,-1,0)

\vec{n_{2}} = (1,1,-4)

\vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -4\end{array}\right|

\vec{i}: (-1)(-4)-(0)(1) = 4 \qquad \vec{j}: -\bigl[(3)(-4)-(0)(1)\bigr] = 12 \qquad \vec{k}: (3)(1)-(-1)(1) = 4

\vec{u} = (4,\, 12,\, 4) \;\sim\; (1,\, 3,\, 1)

Un punto de $r$ . Con

z = 0

\begin{cases} 3x-y = 5 \\ x+y = -13\end{cases} \;\Longrightarrow\; 4x = -8 \;\Longrightarrow\; x = -2, \quad y = -11

P_{0}(-2,\,-11,\,0)

(Comprobación: $-6+11 = 5$ $\checkmark$ y $-2-11-0 = -13$ $\checkmark$ )

a) El punto de intersección. Punto genérico de

r

Q(t) = (-2+t,\; -11+3t,\; t)

Sustituyendo en

\pi\colon x+2y-z = 0

(-2+t)+2\,(-11+3t)-t = -2+t-22+6t-t = 6t-24 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 4

I = (-2+4,\; -11+12,\; 4) = (2,\, 1,\, 4)

Comprobación:

\;2+2-4 = 0

\;\checkmark

(y está en

r

\;6-1 = 5

\checkmark

\;2+1-16 = -13

\checkmark

)

b) El simétrico de $Q(1,-2,3)$ .

Recta perpendicular a $\pi$ por $Q$ . El normal del plano es

\vec{n} = (1,2,-1)

R(s) = (1+s,\; -2+2s,\; 3-s)

Corte con $\pi$ :

(1+s)+2\,(-2+2s)-(3-s) = 1+s-4+4s-3+s = 6s-6 = 0 \;\Longrightarrow\; s = 1

M = (1+1,\; -2+2,\; 3-1) = (2,\, 0,\, 2)

Comprobación:

\;2+0-2 = 0

\;\checkmark

(

M\in\pi

)

El simétrico.

M

es el punto medio de

Q

Q'

Q' = 2M-Q = (4-1,\; 0-(-2),\; 4-3) = (3,\, 2,\, 1)

Comprobación. Punto medio de

Q(1,-2,3)

Q'(3,2,1)

\left(\frac{1+3}{2},\; \frac{-2+2}{2},\; \frac{3+1}{2}\right) = (2,\,0,\,2) = M \;\checkmark

\;\vec{QQ'} = (2,4,-2) = 2\,(1,2,-1) = 2\vec{n}

: efectivamente paralelo al normal

\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El simétrico respecto de un plano usa el normal como director de la perpendicular. No lo confundas con el simétrico respecto de una recta, donde hace falta un plano auxiliar.

Al parametrizar una recta dada por dos planos, comprueba siempre que el punto elegido cumple las dos ecuaciones. Un signo mal copiado ahí arruina todo lo demás.

Cierra con dos comprobaciones baratas: que $M$ está en el plano y que $\vec{QQ'}$ es proporcional al normal. Si alguna falla, el error está en el pie de la perpendicular.