Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2018 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera el plano

\pi

de ecuación

x + 2y + z = 6

.

a) [1 punto] Determina la recta perpendicular a

\pi

que pasa por el origen de coordenadas.

b) [0,5 puntos] Halla el punto simétrico del origen de coordenadas con respecto a

\pi

.

c) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro determinado por el origen de coordenadas y los puntos de corte de

\pi

con los ejes de coordenadas.

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad r \equiv (t,\, 2t,\, t), \text{ con director } \vec{n} = (1,2,1)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad 6t = 6 \Rightarrow M(1,2,1); \qquad O' = 2M = (2,\, 4,\, 2)\;}

\boxed{\;\text{c)}\quad A(6,0,0),\, B(0,3,0),\, C(0,0,6); \qquad V = \frac{6\cdot 3\cdot 6}{6} = 18\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los tres apartados son cortos y encadenados:

a) Recta perpendicular a un plano $\Rightarrow$ su director es el vector normal $\vec{n} = (1,2,1)$ .
b) Con esa recta se halla el pie $M$ (sustituyendo en la ecuación del plano) y el simétrico es $O' = 2M - O = 2M$ , porque el origen simplifica la fórmula.
c) Los cortes con los ejes salen anulando dos coordenadas cada vez. El tetraedro que forman con el origen tiene tres aristas sobre los ejes, así que su producto mixto es el determinante de una matriz diagonal: el volumen es inmediato.

Desarrollo

a) Recta perpendicular por el origen. El normal del plano es

\vec{n} = (1,2,1)

r \equiv (x,y,z) = (0,0,0) + t\,(1,2,1) = \bigl(t,\; 2t,\; t\bigr)

o en forma continua

r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}

b) Simétrico del origen. Sustituimos el punto genérico de

r

\pi

t + 2\,(2t) + t = 6 \;\Longrightarrow\; 6t = 6 \;\Longrightarrow\; t = 1

M = (1,\, 2,\, 1)

(Comprobación: $1 + 4 + 1 = 6\;\checkmark$ )

Como

M

es el punto medio de

O

O'

O' = 2M - O = (2,\, 4,\, 2)

c) Cortes del plano con los ejes.

\text{Eje } OX \; (y = z = 0): \quad x = 6 \;\Longrightarrow\; A(6,0,0)

\text{Eje } OY \; (x = z = 0): \quad 2y = 6 \;\Longrightarrow\; B(0,3,0)

\text{Eje } OZ \; (x = y = 0): \quad z = 6 \;\Longrightarrow\; C(0,0,6)

Volumen del tetraedro $OABC$ . Las tres aristas desde el origen son

\vec{OA} = (6,0,0)

\vec{OB} = (0,3,0)

\vec{OC} = (0,0,6)

V = \frac{1}{6}\Bigl|\bigl[\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}\bigr]\Bigr| = \frac{1}{6}\left|\begin{array}{ccc} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right|

El determinante de una matriz diagonal es el producto de la diagonal:

V = \frac{6\cdot 3\cdot 6}{6} = \frac{108}{6} = 18 \ \text{unidades cúbicas}

(Equivale a la fórmula del tetraedro rectángulo: $V = \tfrac13\cdot\text{área de la base}\cdot\text{altura} = \tfrac13\cdot\tfrac{6\cdot 3}{2}\cdot 6 = 18$ .)

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Consejo

Cuando el punto es el origen, el simétrico se reduce a $O' = 2M$ : no hay que restar nada. Es la única simplificación del apartado b), pero conviene verla.

Los cortes con los ejes se obtienen anulando las otras dos coordenadas, no una sola. Y ojo al coeficiente: en $x+2y+z = 6$ , el corte con $OY$ es $y = 3$ , no $y = 6$ .

En c) no hace falta desarrollar el determinante: las tres aristas van sobre los ejes, así que la matriz es diagonal y el mixto es el producto de los tres cortes. Y no olvides el $\tfrac16$ del tetraedro.