Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2020 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 4. Siendo

a \neq 0

, considera las rectas

r \equiv x - 1 = y - 2 = \frac{z-1}{a} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \frac{x-3}{-a} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+1}{2}

a) [1,25 puntos] Estudia la posición relativa de ambas rectas según los valores de

a

.

b) [1,25 puntos] Para

a = 2

, determina las ecuaciones de la recta que pasa por el punto de corte de

r

s

y es perpendicular a ambas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Nunca son paralelas}; \qquad \bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] = 4 - a^{2}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad a = \pm 2: \text{ se cortan}; \qquad a \neq 0,\, \pm 2: \text{ se cruzan}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad P(1,2,1), \;\; \vec{w} = \vec{u}\times\vec{v} = (4,-6,1) \;\Longrightarrow\; \frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{-6} = \frac{z-1}{1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Posición relativa de dos rectas, con el esquema de siempre:

¿Son paralelas? Se comprueba si los directores son proporcionales.
Si no lo son, el producto mixto $\bigl[\vec{u}, \vec{v}, \vec{RS}\bigr]$ decide: vale $0$ si se cortan y es distinto de $0$ si se cruzan.

En b), la recta perpendicular a las dos tiene como dirección el producto vectorial

\vec{u}\times\vec{v}

, y pasa por el punto de corte, que hay que hallar resolviendo el sistema.

Desarrollo

Elementos de las rectas.

r: \quad R(1,\, 2,\, 1), \quad \vec{u} = (1,\, 1,\, a) \qquad\qquad s: \quad S(3,\, 3,\, -1), \quad \vec{v} = (-a,\, -1,\, 2)

a) ¿Paralelas? Habría de cumplirse

\frac{1}{-a} = \frac{1}{-1} = \frac{a}{2}

De la igualdad central,

\frac{1}{-a} = -1 \Rightarrow a = 1

; pero entonces

\frac{a}{2} = \frac12 \neq -1

. Nunca son paralelas, sea cual sea

a \neq 0

.

Producto mixto.

\vec{RS} = S - R = (2,\, 1,\, -2)

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & a \\ -a & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -2\end{array}\right|

= 1\bigl[(-1)(-2) - (2)(1)\bigr] - 1\bigl[(-a)(-2) - (2)(2)\bigr] + a\bigl[(-a)(1) - (-1)(2)\bigr]

= 1\,(2 - 2) - 1\,(2a - 4) + a\,(-a + 2) = 0 - 2a + 4 - a^{2} + 2a

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] = 4 - a^{2}

Discusión.

4 - a^{2} = 0 \;\Longleftrightarrow\; a = 2 \quad \text{o} \quad a = -2

a = \pm 2: \text{ las rectas se \textbf{cortan} en un punto}; \qquad a \neq \pm 2 \;(\text{y } a\neq 0): \text{ se \textbf{cruzan}}

b) Caso $a = 2$ . Ahora

\vec{u} = (1, 1, 2), \qquad \vec{v} = (-2, -1, 2)

Punto de corte. Con

r \equiv (1+t,\; 2+t,\; 1+2t)

s \equiv (3-2\lambda,\; 3-\lambda,\; -1+2\lambda)

\begin{cases} 1 + t = 3 - 2\lambda \\ 2 + t = 3 - \lambda \\ 1 + 2t = -1 + 2\lambda\end{cases}

De la segunda,

t = 1 - \lambda

. Llevándolo a la primera:

1 + 1 - \lambda = 3 - 2\lambda \;\Longrightarrow\; \lambda = 1 \;\Longrightarrow\; t = 0

Comprobación en la tercera:

\;1 + 0 = 1

-1 + 2 = 1\;\checkmark

P = (1,\, 2,\, 1)

(que es precisamente el punto

R

con el que venía dada

r

).

Dirección perpendicular a ambas.

\vec{w} = \vec{u}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 2\end{array}\right|

\vec{i}: \; (1)(2) - (2)(-1) = 2 + 2 = 4

\vec{j}: \; -\Bigl[(1)(2) - (2)(-2)\Bigr] = -(2 + 4) = -6

\vec{k}: \; (1)(-1) - (1)(-2) = -1 + 2 = 1

\vec{w} = (4,\, -6,\, 1)

Ecuación de la recta pedida.

\begin{cases} x = 1 + 4\mu \\ y = 2 - 6\mu \\ z = 1 + \phantom{6}\mu\end{cases} \qquad \text{o bien} \qquad \frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{-6} = \frac{z-1}{1}

Comprobación:

\;\vec{w}\cdot\vec{u} = 4 - 6 + 2 = 0\;\checkmark

\;\vec{w}\cdot\vec{v} = -8 + 6 + 2 = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Descarta el paralelismo antes de calcular el producto mixto: si los directores fueran proporcionales, el mixto valdría $0$ y podrías concluir erróneamente que las rectas se cortan cuando en realidad son paralelas (o coincidentes). El orden del razonamiento importa.

Fíjate en los signos al leer $s$ : en la forma continua $\frac{y-3}{-1}$ , el director lleva un $-1$ , no un $1$ . Es una fuente clásica de errores en los enunciados con parámetro.

En b), la recta perpendicular a dos que se cortan pasa por el punto de corte y lleva la dirección $\vec{u}\times\vec{v}$ : no hay que montar ninguna perpendicular común compleja, como sí ocurriría si se cruzasen. Y verifica con dos productos escalares que $\vec{w}$ es ortogonal a ambos directores.