Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2013 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera los puntos

A(1,0,2)

B(-1,3,1)

C(2,1,2)

D(1,0,4)

.

a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene a

A

B

C

.

b) [1,5 puntos] Halla el punto simétrico de

D

respecto del plano

x-y-5z+9 = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (-2,3,-1), \quad \vec{AC} = (1,1,0), \quad \vec{n} = \vec{AB}\times\vec{AC} = (1,-1,-5)\;}

\boxed{\;\text{a) } \pi \equiv x-y-5z+9 = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } Q(t) = (1+t,-t,4-5t) \text{ en } \pi: \ 27t-10 = 0 \Rightarrow t = \tfrac{10}{27}\;}

\boxed{\;M\left(\tfrac{37}{27},-\tfrac{10}{27},\tfrac{58}{27}\right), \qquad D' = 2M-D = \left(\tfrac{47}{27},\; -\tfrac{20}{27},\; \tfrac{8}{27}\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Plano por tres puntos: su normal es $\;\vec{n} = \vec{AB}\times\vec{AC}$ , y pasa por cualquiera de ellos.
b) Método estándar del simétrico respecto de un plano:

1. recta perpendicular por

D

(dirección

\vec{n}

),
2. corte con el plano

\to

pie

M

,
3.

D' = 2M-D

.

(Verás que el plano de b) es exactamente el que sale en a): el enunciado te lo confirma.)

Desarrollo

a) El plano por $A$ , $B$ y $C$ .

\vec{AB} = (-2,\, 3,\, -1) \qquad \vec{AC} = (1,\, 1,\, 0)

\vec{n} = \vec{AB}\times\vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right|

\vec{i}: (3)(0)-(-1)(1) = 1 \qquad \vec{j}: -\bigl[(-2)(0)-(-1)(1)\bigr] = -1 \qquad \vec{k}: (-2)(1)-(3)(1) = -5

\vec{n} = (1,\, -1,\, -5)

Imponiendo que pase por

A(1,0,2)

1-0-10+D = 0 \;\Longrightarrow\; D = 9 \qquad\Longrightarrow\qquad \pi \equiv x-y-5z+9 = 0

Comprobaciones.

B(-1,3,1)

\;-1-3-5+9 = 0\;\checkmark

;

\;C(2,1,2)

\;2-1-10+9 = 0\;\checkmark

(Es el mismo plano del apartado b).)

b) El simétrico de $D(1,0,4)$ .

Recta perpendicular por $D$ , con dirección

\vec{n} = (1,-1,-5)

Q(t) = (1+t,\; -t,\; 4-5t)

El pie. Sustituyendo en

x-y-5z+9 = 0

(1+t)+t-5\,(4-5t)+9 = 1+t+t-20+25t+9 = 27t-10 = 0 \;\Longrightarrow\; t = \frac{10}{27}

M = \left(1+\frac{10}{27},\; -\frac{10}{27},\; 4-\frac{50}{27}\right) = \left(\frac{37}{27},\; -\frac{10}{27},\; \frac{58}{27}\right)

El simétrico.

D' = 2M-D = \left(\frac{74}{27}-1,\; -\frac{20}{27}-0,\; \frac{116}{27}-4\right) = \left(\frac{47}{27},\; -\frac{20}{27},\; \frac{8}{27}\right)

Comprobación. El punto medio de

D

D'

\left(\frac{1+\frac{47}{27}}{2},\; \frac{0-\frac{20}{27}}{2},\; \frac{4+\frac{8}{27}}{2}\right) = \left(\frac{37}{27},\; -\frac{10}{27},\; \frac{58}{27}\right) = M \;\checkmark

(Y la distancia de $D$ al plano es $\;\dfrac{\lvert 1-0-20+9\rvert}{\sqrt{27}} = \dfrac{10}{3\sqrt3} = \dfrac{10\sqrt3}{9}$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El plano del apartado b) es el que sale en a): el enunciado te lo da ya hecho como comprobación. Si tu plano de a) no coincide, revisa el producto vectorial antes de seguir.

Para el simétrico, la fórmula $D' = 2M-D$ es más rápida y segura que despejar componente a componente. Es la misma que para el simétrico respecto de una recta.

Aquí las fracciones tienen denominador $27 = \lVert\vec{n}\rVert^{2}$ . No es casualidad: el parámetro del pie siempre sale $t = \frac{-(\vec n\cdot D+D_{0})}{\lVert\vec n\rVert^{2}}$ . Comprueba el punto medio al final.