Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2013 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera el plano

\pi

de ecuación

2x+y+3z-6 = 0

.

a) [1,5 puntos] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano

\pi

con los ejes coordenados.

b) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano

\pi

y los planos coordenados.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Cortes: } P_{1}(3,0,0), \quad P_{2}(0,6,0), \quad P_{3}(0,0,2)\;}

\boxed{\;\vec{P_{1}P_{2}}\times\vec{P_{1}P_{3}} = (12,6,18) = 6\,(2,1,3)\;}

\boxed{\;\text{a) Área} = \tfrac12\cdot 6\sqrt{14} = 3\sqrt{14} \approx 11{,}22 \ \text{u}^{2}\;}

\boxed{\;\text{b) } V = \frac16\cdot 3\cdot6\cdot2 = 6 \ \text{u}^{3}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero, los cortes con los ejes: se anulan dos coordenadas cada vez.

a) Área del triángulo por sus vértices: $\;\frac12\bigl\lVert\vec{P_{1}P_{2}}\times\vec{P_{1}P_{3}}\bigr\rVert$ .
b) El tetraedro tiene un vértice en el origen y los otros tres en esos cortes. Sus tres aristas desde el origen van por los ejes, luego son perpendiculares dos a dos y

V = \frac{1}{6}\,\lvert a\,b\,c\rvert

con

a

b

c

las coordenadas de los cortes.

Desarrollo

Los cortes con los ejes. En

2x+y+3z = 6

OX \;(y=z=0): \; 2x = 6 \;\Longrightarrow\; P_{1}(3,\,0,\,0)

OY \;(x=z=0): \; y = 6 \;\Longrightarrow\; P_{2}(0,\,6,\,0)

OZ \;(x=y=0): \; 3z = 6 \;\Longrightarrow\; P_{3}(0,\,0,\,2)

a) El área del triángulo.

\vec{P_{1}P_{2}} = (-3,\, 6,\, 0) \qquad \vec{P_{1}P_{3}} = (-3,\, 0,\, 2)

\vec{P_{1}P_{2}}\times\vec{P_{1}P_{3}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 6 & 0 \\ -3 & 0 & 2\end{array}\right|

\vec{i}: (6)(2)-(0)(0) = 12 \qquad \vec{j}: -\bigl[(-3)(2)-(0)(-3)\bigr] = 6 \qquad \vec{k}: (-3)(0)-(6)(-3) = 18

= (12,\, 6,\, 18) = 6\,(2,\,1,\,3)

(No es casualidad que salga proporcional al normal del plano: los tres vértices están en $\pi$ .)

\text{Área} = \frac12\bigl\lVert(12,6,18)\bigr\rVert = \frac12\cdot 6\sqrt{4+1+9} = 3\sqrt{14} \approx 11{,}22 \ \text{u}^{2}

b) El volumen del tetraedro. Aristas desde el origen:

\vec{OP_{1}} = (3,0,0)

\vec{OP_{2}} = (0,6,0)

\vec{OP_{3}} = (0,0,2)

V = \frac16\bigl\lvert\bigl[\vec{OP_{1}},\vec{OP_{2}},\vec{OP_{3}}\bigr]\bigr\rvert = \frac16\left\lvert\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right\rvert = \frac{3\cdot6\cdot2}{6}

V = 6 \ \text{u}^{3}

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Consejo

Los cortes con los ejes no son los coeficientes: en $2x+y+3z = 6$ el corte con $OX$ es $x = 3$ , no $2$ ni $6$ . Anula las otras dos variables y despeja.

El producto vectorial de dos lados del triángulo debe salir proporcional al normal del plano, porque los tres vértices están en él. Es una comprobación gratuita.

El volumen del tetraedro es $\frac16$ del producto mixto (no $\frac13$ ni el producto entero). Y como las aristas van por los ejes, el determinante es diagonal: solo hay que multiplicar los tres cortes.