Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2017 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera los puntos

A(1,3,-1)

B(3,-1,-1)

.

a) [1,75 puntos] Determina la ecuación del plano respecto del cual

B

es el simétrico de

A

.

b) [0,75 puntos] Siendo

C(5,1,5)

, calcula el área del triángulo de vértices

A

B

C

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Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (2,-4,0)\parallel(1,-2,0), \qquad M = (2,\, 1,\, -1)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \pi \equiv x - 2y = 0 \quad (\text{plano mediador de } AB)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{AB}\times\vec{AC} = (-24,-12,12); \qquad \text{Área} = \frac{12\sqrt6}{2} = 6\sqrt6 \approx 14{,}70\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) El plano respecto del cual $A$ y $B$ son simétricos es el plano mediador del segmento $AB$ : pasa por el punto medio y tiene por normal el vector $\vec{AB}$ .
b) Área del triángulo $=\tfrac12\bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr\rVert$ .

El vector

\vec{AB}

interviene en los dos apartados, así que conviene calcularlo una sola vez.

Desarrollo

El vector $\vec{AB}$ .

\vec{AB} = B - A = (3-1,\; -1-3,\; -1+1) = (2,\, -4,\, 0) \;\parallel\; (1,\, -2,\, 0)

a) Plano mediador.

Punto medio:

M = \frac{A+B}{2} = \left(\frac{1+3}{2},\; \frac{3-1}{2},\; \frac{-1-1}{2}\right) = (2,\, 1,\, -1)

Normal: el propio

\vec{AB}

, simplificado a

\vec{n} = (1,-2,0)

.

Ecuación, imponiendo el paso por

M

1\,(x-2) - 2\,(y-1) + 0\,(z+1) = 0

x - 2 - 2y + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; x - 2y = 0

Comprobaciones.

$M$ pertenece: $\;2 - 2 = 0\;\checkmark$
$A$ y $B$ están a lados opuestos: en $A(1,3,-1)$ la expresión vale $1 - 6 = -5$ y en $B(3,-1,-1)$ vale $3 + 2 = 5$ . Valores opuestos, la firma de dos puntos simétricos $\checkmark$

(La $z$ no aparece: el plano es paralelo al eje $OZ$ , coherente con que $A$ y $B$ tengan la misma cota $z=-1$ .)

b) Área del triángulo.

\vec{AC} = C - A = (5-1,\; 1-3,\; 5+1) = (4,\, -2,\, 6)

\vec{AB}\times\vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -4 & 0 \\ 4 & -2 & 6\end{array}\right|

\vec{i}: \; (-4)(6) - (0)(-2) = -24

\vec{j}: \; -\Bigl[(2)(6) - (0)(4)\Bigr] = -12

\vec{k}: \; (2)(-2) - (-4)(4) = -4 + 16 = 12

\vec{AB}\times\vec{AC} = (-24,\, -12,\, 12) = -12\,(2,\, 1,\, -1)

\bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr\rVert = 12\sqrt{4+1+1} = 12\sqrt6

\text{Área} = \frac{12\sqrt6}{2} = 6\sqrt{6} \approx 14{,}70 \ \text{unidades cuadradas}

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Consejo

"El plano respecto del cual $B$ es el simétrico de $A$ " es el plano mediador: punto medio más normal $\vec{AB}$ . Traducirlo así convierte el apartado a) en dos cálculos de una línea.

Puedes simplificar el normal de $(2,-4,0)$ a $(1,-2,0)$ : la ecuación del plano no cambia (solo el factor global), y las cuentas quedan más limpias.

En b), el área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial. Y sacar el factor común $-12$ antes de calcular el módulo evita manejar números grandes: $12\sqrt6$ sale mucho más rápido que $\sqrt{576+144+144}$ .