Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2022 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque B). Considera el punto

P(2, 0, -4)

y el plano

\pi \equiv \begin{cases} x = 9\alpha + 3\beta \\ y = -1 + 2\alpha \\ z = 3 + 4\alpha + \beta \end{cases}

a) [1,75 puntos] Halla el punto simétrico del punto

P

respecto del plano

\pi

.

b) [0,75 puntos] Calcula la distancia del punto

P

al plano

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\pi \equiv 2x + 3y - 6z + 21 = 0, \qquad \lVert\vec{n}\rVert = 7\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad P'(-2,\, -6,\, 8)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad d(P, \pi) = \frac{49}{7} = 7 \ \text{unidades}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El plano viene en paramétricas, así que el primer paso es obligatorio: pasarlo a ecuación general. De las paramétricas se leen directamente un punto y los dos vectores directores, y el normal sale de su producto vectorial.

Aquí ocurre algo muy cómodo: el vector normal resulta ser

(2, 3, -6)

, cuyo módulo es exactamente

7

(porque

4 + 9 + 36 = 49

). Eso hace que la distancia salga entera y que el cociente de la fórmula del simétrico valga

1

.

Conviene hacer b) antes que a) mentalmente, porque el valor

|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|

que se calcula para la distancia es el mismo que se necesita para el simétrico.

Desarrollo

Datos del plano. De las paramétricas:

Q(0,\, -1,\, 3), \qquad \vec{u} = (9,\, 2,\, 4), \qquad \vec{v} = (3,\, 0,\, 1)

Vector normal.

\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 9 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right|

= \bigl(2\cdot 1 - 4\cdot 0\bigr)\vec{i} - \bigl(9\cdot 1 - 4\cdot 3\bigr)\vec{j} + \bigl(9\cdot 0 - 2\cdot 3\bigr)\vec{k} = (2,\, 3,\, -6)

\bigl\lVert\vec{n}\bigr\rVert = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7

Ecuación general. Imponiendo el paso por

Q(0,-1,3)

2\,(x - 0) + 3\,(y + 1) - 6\,(z - 3) = 0 \;\Longrightarrow\; 2x + 3y + 3 - 6z + 18 = 0

\pi \equiv 2x + 3y - 6z + 21 = 0

(Comprobación: el punto de $\pi$ con $\alpha = 1$ , $\beta = 0$ es $(9, 1, 7)$ , y $18 + 3 - 42 + 21 = 0\;\checkmark$ )

Valor del plano en $P(2,0,-4)$ .

2\cdot 2 + 3\cdot 0 - 6\cdot(-4) + 21 = 4 + 0 + 24 + 21 = 49

b) Distancia (la calculamos primero, porque reutiliza ese

49

d(P, \pi) = \frac{|49|}{\lVert\vec{n}\rVert} = \frac{49}{7} = 7 \ \text{unidades}

a) Punto simétrico. Aplicando la fórmula del simétrico respecto de un plano:

P' = P - 2\,\frac{2x_{0} + 3y_{0} - 6z_{0} + 21}{\lVert\vec{n}\rVert^{2}}\,\vec{n} = (2,0,-4) - 2\cdot\frac{49}{49}\,(2,3,-6)

P' = (2,\, 0,\, -4) - 2\,(2,\, 3,\, -6) = (2 - 4,\; 0 - 6,\; -4 + 12) = (-2,\, -6,\, 8)

Comprobaciones.

El punto medio de $P$ y $P'$ es $M(0, -3, 2)$ , y pertenece al plano: $\;0 - 9 - 12 + 21 = 0\;\checkmark$
El vector $\vec{PP'} = (-4, -6, 12) = -2\,(2,3,-6)$ es paralelo a $\vec{n}\;\checkmark$
Y la distancia de $P'$ al plano vuelve a ser $7$ : $\;|{-4} - 18 - 48 + 21|/7 = 49/7 = 7\;\checkmark$

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Consejo

Con el plano en paramétricas, pásalo a general antes de nada: ni la fórmula de la distancia ni la del simétrico funcionan con las paramétricas. El punto y los dos vectores se leen directamente de las tres ecuaciones, sin despejar nada.

Y aprovecha el orden: el número $|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D| = 49$ sirve para los dos apartados. Haciendo primero la distancia (apartado b) ya lo tienes calculado cuando llegas al simétrico, y de paso compruebas que el cociente $49/49 = 1$ deja las cuentas del apartado a) en una simple resta.