Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2021 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque B). Considera las rectas

r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + m\lambda \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 3 \\ x \phantom{{}-{}y} + \phantom{2}z = 2 \end{cases}

a) [1,5 puntos] Estudia la posición relativa de

r

s

según los valores de

m

.

b) [1 punto] Para

m = 1

, calcula el coseno del ángulo que forman las rectas

r

s

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Nunca son paralelas}; \qquad \bigl[\vec{RS},\vec{d}_{r},\vec{d}_{s}\bigr] = m - 1\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad m = 1: \text{ se cortan}; \qquad m \neq 1: \text{ se cruzan}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \cos\alpha = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 \quad (\alpha \approx 70{,}5^{\circ})\;}

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Estrategia

El guion para la posición relativa de dos rectas, adaptado a que hay un parámetro:

¿Pueden ser paralelas? Se comprueba si los directores llegan a ser proporcionales para algún $m$ . Aquí se verá que nunca lo son, lo que simplifica la discusión a dos casos en vez de tres.
¿Coplanarias? El producto mixto $\bigl[\vec{RS}, \vec{d}_{r}, \vec{d}_{s}\bigr]$ da una ecuación en $m$ : donde se anule, las rectas se cortan; donde no, se cruzan.

En b) basta la fórmula del coseno con los dos directores, con valor absoluto en el numerador (el ángulo entre rectas se toma agudo).

Desarrollo

Datos de $r$ .

R(1,\, 1,\, 2), \qquad \vec{d}_{r} = (1,\, 1,\, m)

Vector director de $s$ . Producto vectorial de los normales

(1,-1,2)

(1,0,1)

\vec{d}_{s} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right|

\vec{i}: \; (-1)(1) - (2)(0) = -1 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(1)(1) - (2)(1)\bigr] = 1 \qquad \vec{k}: \; (1)(0) - (-1)(1) = 1

\vec{d}_{s} = (-1,\, 1,\, 1)

Un punto de $s$ . Haciendo

z = 0

\;x - y = 3

x = 2

, luego

y = -1

S(2,\, -1,\, 0)

a) ¿Paralelas? Habría que tener

(1, 1, m) = k\,(-1, 1, 1)

. De la primera componente,

k = -1

; de la segunda,

k = 1

. Imposible: las rectas nunca son paralelas, sea cual sea

m

.

¿Coplanarias? Con

\vec{RS} = S - R = (1,\, -2,\, -2)

\bigl[\vec{RS},\, \vec{d}_{r},\, \vec{d}_{s}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} 1 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & m \\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right|

Desarrollando por la primera fila:

= 1\bigl(1\cdot 1 - m\cdot 1\bigr) - (-2)\bigl(1\cdot 1 - m\cdot(-1)\bigr) + (-2)\bigl(1\cdot 1 - 1\cdot(-1)\bigr)

= (1 - m) + 2\,(1 + m) - 2\,(2) = 1 - m + 2 + 2m - 4 = m - 1

\bigl[\vec{RS}, \vec{d}_{r}, \vec{d}_{s}\bigr] = m - 1

Discusión.

Si $m = 1$ : el producto mixto se anula, así que son coplanarias; y como nunca son paralelas, se cortan en un punto.
Si $m \neq 1$ : el producto mixto no se anula, luego no son coplanarias: se cruzan.

b) Coseno del ángulo para $m = 1$ . Entonces

\vec{d}_{r} = (1,1,1)

\vec{d}_{s} = (-1,1,1)

\vec{d}_{r}\cdot\vec{d}_{s} = -1 + 1 + 1 = 1

\bigl\lVert\vec{d}_{r}\bigr\rVert = \sqrt{3}, \qquad \bigl\lVert\vec{d}_{s}\bigr\rVert = \sqrt{3}

\cos\alpha = \frac{\bigl|\vec{d}_{r}\cdot\vec{d}_{s}\bigr|}{\bigl\lVert\vec{d}_{r}\bigr\rVert\,\bigl\lVert\vec{d}_{s}\bigr\rVert} = \frac{1}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{1}{3}

\cos\alpha = \frac{1}{3} \approx 0{,}333 \qquad (\alpha \approx 70{,}5^{\circ})

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Empieza descartando el paralelismo para todo $m$ : aquí las dos primeras componentes exigen $k=-1$ y $k=1$ a la vez, imposible. Con eso la discusión se reduce a dos casos (cortarse o cruzarse) en lugar de tres, y evitas tener que analizar por separado si algún valor de $m$ las hace paralelas.

El coseno del ángulo entre rectas lleva valor absoluto: dos rectas forman siempre un ángulo agudo, independientemente de cómo se orienten los vectores directores. Si obtienes un coseno negativo, cambia el signo; el ángulo obtuso corresponde al mismo par de rectas.