Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2012 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Los puntos

A(1,1,5)

B(1,1,2)

son vértices consecutivos de un rectángulo

ABCD

. El vértice

C

, consecutivo a

B

, está en la recta

r \equiv x = \frac{y-6}{-2} = \frac{z+1}{2}

Determina los vértices

C

D

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (0,0,-3); \qquad r: \ C(t) = (t,\, 6-2t,\, -1+2t)\;}

\boxed{\;\vec{BC}\cdot\vec{AB} = -6t+9 = 0 \;\Longrightarrow\; t = \tfrac32\;}

\boxed{\;C = \left(\tfrac32,\; 3,\; 2\right), \qquad \vec{BC} = \left(\tfrac12,\, 2,\, 0\right)\;}

\boxed{\;D = A+\vec{BC} = \left(\tfrac32,\; 3,\; 5\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En un rectángulo

ABCD

, los lados

\overline{AB}

\overline{BC}

son consecutivos, luego perpendiculares:

\vec{BC}\cdot\vec{AB} = 0

Como

C

está en

r

, se toma su punto genérico

C(t)

y esa condición da una ecuación de primer grado en

t

.

Y el cuarto vértice sale sin más cálculo: en el rectángulo (que es un paralelogramo) se cumple

\;\vec{AD} = \vec{BC}

, luego

D = A+\vec{BC}

Desarrollo

El lado conocido.

\vec{AB} = (1-1,\; 1-1,\; 2-5) = (0,\, 0,\, -3)

(Es un vector vertical: el lado $\overline{AB}$ es paralelo al eje $OZ$ .)

La recta $r$ . De la ecuación continua

\;\dfrac{x}{1} = \dfrac{y-6}{-2} = \dfrac{z+1}{2}

P_{0}(0,\,6,\,-1), \qquad \vec{u} = (1,\, -2,\, 2)

C(t) = \bigl(t,\; 6-2t,\; -1+2t\bigr)

La condición de ángulo recto en $B$ .

\vec{BC} = \bigl(t-1,\; 6-2t-1,\; -1+2t-2\bigr) = \bigl(t-1,\; 5-2t,\; 2t-3\bigr)

\vec{BC}\cdot\vec{AB} = 0\,(t-1)+0\,(5-2t)+(-3)(2t-3) = -6t+9 = 0

t = \frac{3}{2}

El vértice $C$ .

C = \left(\frac32,\; 6-3,\; -1+3\right) = \left(\frac32,\; 3,\; 2\right)

Comprobación.

\;\vec{BC} = \left(\frac12,\, 2,\, 0\right)

\;\vec{BC}\cdot\vec{AB} = 0+0+0 = 0

\;\checkmark

El vértice $D$ .

D = A+\vec{BC} = \left(1+\frac12,\; 1+2,\; 5+0\right) = \left(\frac32,\; 3,\; 5\right)

Comprobaciones.

\vec{AD} = \left(\tfrac12,2,0\right) = \vec{BC} \;\checkmark \qquad \vec{DC} = \left(0,0,-3\right) = \vec{AB} \;\checkmark

\vec{AB}\cdot\vec{AD} = 0+0+0 = 0 \;\checkmark \quad (\text{ángulo recto también en } A)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Vértices consecutivos" $\Rightarrow$ los lados $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$ forman ángulo recto en $B$ : la condición es $\vec{BC}\cdot\vec{AB} = 0$ . (Da igual usar $\vec{AB}$ o $\vec{BA}$ : son opuestos y el producto escalar se anula con los dos.)

El vértice $D$ no requiere repetir el proceso: en cualquier paralelogramo $ABCD$ se cumple $\vec{AD} = \vec{BC}$ , así que $D = A+\vec{BC}$ .

Comprueba las dos igualdades de lados ( $\vec{AD} = \vec{BC}$ y $\vec{DC} = \vec{AB}$ ) y la perpendicularidad. Si las tres se cumplen, es un rectángulo.