Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2020 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 8. Se considera el punto

A(1, -2, 0)

y la recta

r \equiv \begin{cases} x + y = 0 \\ y - 3z + 2 = 0\end{cases}

a) [1,25 puntos] Calcula la ecuación del plano que pasa por

A

y es perpendicular a

r

.

b) [1,25 puntos] Calcula la ecuación del plano que pasa por

A

y contiene a

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{d} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = (-3,\,3,\,1), \qquad R(2,-2,0)\in r\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad 3x - 3y - z - 9 = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \lambda(x+y) + \mu(y - 3z + 2) = 0 \text{ con } A \Rightarrow \lambda = 0: \qquad y - 3z + 2 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos planos que pasan por el mismo punto, pero con condiciones opuestas:

Perpendicular a $r$ : el normal es el director de la recta, que se obtiene con $\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}$ .
Contiene a $r$ : el normal es perpendicular al director. Aquí lo más rápido es el haz de planos que pasan por $r$ ,

\lambda\,(x + y) + \mu\,(y - 3z + 2) = 0

e imponer que

A

pertenezca. El propio enunciado nos regala las dos ecuaciones del haz.

Desarrollo

Vector director de $r$ . Los normales de los dos planos que la definen son

\vec{n}_{1} = (1,1,0)

\vec{n}_{2} = (0,1,-3)

\vec{d} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3\end{array}\right|

\vec{i}: \; (1)(-3) - (0)(1) = -3

\vec{j}: \; -\Bigl[(1)(-3) - (0)(0)\Bigr] = 3

\vec{k}: \; (1)(1) - (1)(0) = 1

\vec{d} = (-3,\, 3,\, 1)

Un punto de $r$ . Haciendo

z = 0

: de la segunda ecuación

y = -2

, y de la primera

x = 2

. Así

R(2, -2, 0) \in r

.

(Nótese que $A(1,-2,0)$ no pertenece a $r$ : $\;1 + (-2) = -1 \neq 0$ . Los dos apartados tienen, por tanto, sentido.)

a) Plano perpendicular a $r$ por $A$ . Su normal es

\vec{d} = (-3,3,1)

-3\,(x - 1) + 3\,(y + 2) + 1\,(z - 0) = 0

-3x + 3y + z + 3 + 6 = 0 \;\Longrightarrow\; -3x + 3y + z + 9 = 0

o, cambiando de signo,

3x - 3y - z - 9 = 0

Comprobación:

\;3\cdot 1 - 3\cdot(-2) - 0 - 9 = 3 + 6 - 9 = 0\;\checkmark

b) Plano que contiene a $r$ y pasa por $A$ . Usamos el haz de planos de

r

\lambda\,(x + y) + \mu\,(y - 3z + 2) = 0

Imponiendo que

A(1,-2,0)

lo verifique:

\lambda\,\bigl(1 + (-2)\bigr) + \mu\,\bigl(-2 - 0 + 2\bigr) = 0 \;\Longrightarrow\; -\lambda + 0\cdot\mu = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = 0

El haz se reduce entonces a

\mu\,(y - 3z + 2) = 0

, es decir

y - 3z + 2 = 0

El plano buscado es una de las dos ecuaciones que definían $r$ . Tiene sentido: ese plano ya contiene a la recta por construcción, y resulta que

A

está en él.

Comprobación:

A(1,-2,0)

-2 - 0 + 2 = 0\;\checkmark

, y el plano contiene a

r

porque es una de sus dos ecuaciones

\checkmark

.

(Sin el haz: el normal debe ser perpendicular a $\vec{d} = (-3,3,1)$ y a $\vec{RA} = A - R = (-1,0,0)$ . Su producto vectorial es $\vec{d}\times\vec{RA} = (0,-1,3)$ , que da $-(y+2) + 3z = 0$ , o sea $y - 3z + 2 = 0$ : el mismo plano.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando la recta viene como intersección de dos planos, el haz de planos es la herramienta más rápida para "el plano que contiene a $r$ y pasa por $P$ ": una sustitución y una relación entre $\lambda$ y $\mu$ . Ahorra calcular vectores y productos vectoriales.

Y distingue bien los dos apartados: perpendicular a $r$ $\Rightarrow$ normal $=\vec{d}$ ; contiene a $r$ $\Rightarrow$ normal $\perp\vec{d}$ . Son condiciones opuestas y se intercambian con facilidad bajo presión.

No te alarmes si en b) el resultado es literalmente una de las ecuaciones del enunciado: significa que $A$ ya estaba en ese plano. Es una solución perfectamente válida, y conviene decirlo explícitamente en lugar de sospechar que te has equivocado.