Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2025 · Junio
Enunciado
Ejercicio 5 (bloque con optatividad 2). Considera el punto P(1,1,1)P(1,1,1) y la rectar≡x−11=y−22=z−32r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{2}a) [1 punto] Halla el plano que pasa por el punto PP y contiene a la recta rr.

b) [1,5 puntos] Halla la recta que pasa por el punto PP y corta perpendicularmente a la recta rr.
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Resultado
  a)π≡2x−2y+z−1=0  \boxed{\;\text{a)}\quad \pi \equiv 2x - 2y + z - 1 = 0\;}  b)s≡x−12=y−11=z−1−2,corta a r en Q(13,23,53)  \boxed{\;\text{b)}\quad s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{-2}, \qquad \text{corta a } r \text{ en } Q\left(\tfrac{1}{3}, \tfrac{2}{3}, \tfrac{5}{3}\right)\;}
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Estrategia

Lo primero, siempre, es leer la recta: de las ecuaciones continuas se lee de golpe un punto, R(1,2,3)R(1,2,3), y un vector director, v⃗=(1,2,2)\vec{v} = (1,2,2).

En a) el plano queda determinado por el punto RR y dos direcciones: la de la recta, v⃗\vec{v}, y la que va de la recta al punto, RP⃗\vec{RP}. (Antes conviene comprobar que P∉rP \notin r; si estuviera en la recta habría infinitos planos.)

En b) la clave es que la recta pedida corta a rr perpendicularmente, así que su punto de corte QQ es el pie de la perpendicular desde PP a rr. Se busca QQ como punto genérico de rr imponiendo PQ⃗⋅v⃗=0\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0, y con PP y QQ ya tenemos la recta.
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Desarrollo

De las ecuaciones continuas de rr:R(1,2,3)∈r,v⃗=(1,2,2)R(1,2,3) \in r, \qquad \vec{v} = (1,2,2)Comprobación previa: ¿está PP en rr? 1−11=0\frac{1-1}{1} = 0 pero 1−22=−12\frac{1-2}{2} = -\frac{1}{2}; no coinciden, luego P∉rP \notin r y el plano pedido es único.

a) El plano π\pi pasa por RR y tiene como direcciones v⃗\vec{v} yRP⃗=P−R=(1−1, 1−2, 1−3)=(0,−1,−2)\vec{RP} = P - R = (1-1,\ 1-2,\ 1-3) = (0, -1, -2)Vector normal:n⃗=v⃗×RP⃗=∣i⃗j⃗k⃗1220−1−2∣=(2⋅(−2)−2⋅(−1))i⃗−(1⋅(−2)−2⋅0)j⃗+(1⋅(−1)−2⋅0)k⃗\vec{n} = \vec{v} \times \vec{RP} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \end{array}\right| = \bigl(2\cdot(-2) - 2\cdot(-1)\bigr)\vec{i} - \bigl(1\cdot(-2) - 2\cdot 0\bigr)\vec{j} + \bigl(1\cdot(-1) - 2\cdot 0\bigr)\vec{k}n⃗=(−2, 2, −1)\vec{n} = (-2,\ 2,\ -1)Ecuación del plano por R(1,2,3)R(1,2,3):−2(x−1)+2(y−2)−(z−3)=0  ⟹  −2x+2y−z+1=0  ⟹  π≡2x−2y+z−1=0-2(x-1) + 2(y-2) - (z-3) = 0 \;\Longrightarrow\; -2x + 2y - z + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv 2x - 2y + z - 1 = 0Comprobación: P(1,1,1)→2−2+1−1=0P(1,1,1) \to 2 - 2 + 1 - 1 = 0 ✓; R(1,2,3)→2−4+3−1=0R(1,2,3) \to 2 - 4 + 3 - 1 = 0 ✓; otro punto de rr, (2,4,5)→4−8+5−1=0(2,4,5) \to 4 - 8 + 5 - 1 = 0 ✓.

b) Escribimos un punto genérico de rr en paramétricas:Q(t)=(1+t, 2+2t, 3+2t)Q(t) = (1 + t,\ 2 + 2t,\ 3 + 2t)El vector que va de PP a ese punto esPQ⃗=(1+t−1, 2+2t−1, 3+2t−1)=(t, 1+2t, 2+2t)\vec{PQ} = (1 + t - 1,\ 2 + 2t - 1,\ 3 + 2t - 1) = (t,\ 1 + 2t,\ 2 + 2t)Para que la recta PQPQ sea perpendicular a rr imponemos PQ⃗⋅v⃗=0\vec{PQ}\cdot\vec{v} = 0:t⋅1+(1+2t)⋅2+(2+2t)⋅2=t+2+4t+4+4t=9t+6=0  ⟹  t=−23t\cdot 1 + (1 + 2t)\cdot 2 + (2 + 2t)\cdot 2 = t + 2 + 4t + 4 + 4t = 9t + 6 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -\frac{2}{3}Sustituyendo:Q=(1−23, 2−43, 3−43)=(13, 23, 53)Q = \left(1 - \frac{2}{3},\ 2 - \frac{4}{3},\ 3 - \frac{4}{3}\right) = \left(\frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{5}{3}\right)PQ⃗=(−23, −13, 23)∥(−2, −1, 2)∥(2, 1, −2)\vec{PQ} = \left(-\frac{2}{3},\ -\frac{1}{3},\ \frac{2}{3}\right) \parallel (-2,\, -1,\, 2) \parallel (2,\, 1,\, -2)La recta pedida pasa por P(1,1,1)P(1,1,1) con dirección (2,1,−2)(2,1,-2):s≡x−12=y−11=z−1−2o biens≡{x=1+2λy=1+λz=1−2λs \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{-2} \qquad\text{o bien}\qquad s \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 1 - 2\lambda \end{cases}Comprobación: (2,1,−2)⋅(1,2,2)=2+2−4=0(2,1,-2)\cdot(1,2,2) = 2 + 2 - 4 = 0 ✓ (perpendicular) y para λ=−13\lambda = -\frac{1}{3} se obtiene Q(13,23,53)Q\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{5}{3}\right), que está en rr ✓ (se cortan).
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

No confundas "recta perpendicular a rr que pasa por PP" (hay infinitas, forman un plano) con "recta que corta perpendicularmente a rr" (única). La palabra corta es la que obliga a buscar el pie QQ; sin ella el problema no tendría solución única.

Truco de control: la recta del apartado b) tiene que estar dentro del plano del apartado a) (ambas contienen a PP y cortan a rr). Sustituye su vector director y su punto en π\pi: si no cuadra, hay un error en algún sitio.
Paso 1 de 3
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