Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Vectores y ángulos

Andalucía · 2022 · Junio

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque B). Se consideran los vectores

\vec{u} = (-1, 2, 3)

\vec{v} = (2, 0, -1)

, así como el punto

A(-4, 4, 7)

.

a) [0,75 puntos] Calcula

a

b

para que el vector

\vec{w} = (1, a, b)

sea ortogonal a

\vec{u}

\vec{v}

.

b) [1,75 puntos] Determina los cuatro vértices de un paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de los vectores

\vec{u}

\vec{v}

, y que tiene al vector

\vec{OA}

como una de sus diagonales, siendo

O

el origen de coordenadas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad a = -\frac{5}{2}, \quad b = 2, \qquad \vec{w} = \left(1, -\tfrac{5}{2}, 2\right)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad O(0,0,0), \quad P(-2,4,6), \quad A(-4,4,7), \quad Q(-2,0,1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) es un sistema de dos ecuaciones (dos productos escalares nulos) con dos incógnitas. Ojo: no hay que calcular

\vec{u} \times \vec{v}

y compararlo, porque el enunciado fija la primera coordenada de

\vec{w}

1

; el producto vectorial daría un múltiplo, y habría que reescalarlo.

En b) lo esencial es entender la figura: si

\vec{OA}

es una diagonal, entonces

O

A

son vértices opuestos. Los otros dos vértices,

P

Q

, salen del origen en las direcciones de

\vec{u}

\vec{v}

, y la regla del paralelogramo dice

\vec{OP} + \vec{OQ} = \vec{OA}

Escribiendo

\vec{OP} = \lambda\vec{u}

\vec{OQ} = \mu\vec{v}

queda un sistema

3\times 2

que hay que resolver y comprobar (tres ecuaciones, dos incógnitas: si no fuera compatible, el paralelogramo no existiría).

Desarrollo

a) Ortogonalidad.

\vec{w}\cdot\vec{v} = 0: \quad 1\cdot 2 + a\cdot 0 + b\cdot(-1) = 2 - b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 2

\vec{w}\cdot\vec{u} = 0: \quad -1 + 2a + 3b = 0 \;\Longrightarrow\; -1 + 2a + 6 = 0 \;\Longrightarrow\; a = -\frac{5}{2}

\vec{w} = \left(1, -\frac{5}{2}, 2\right)

(Comprobación: $\vec{w}\cdot\vec{u} = -1 - 5 + 6 = 0$ y $\vec{w}\cdot\vec{v} = 2 + 0 - 2 = 0$ . Y en efecto $\vec{w}$ es proporcional a $\vec{u}\times\vec{v} = (-2, 5, -4)$ : concretamente $\vec{w} = -\frac{1}{2}\,(\vec{u}\times\vec{v})$ .)

b) Los vértices. Sean

P

Q

los otros dos vértices, con

\vec{OP} = \lambda\,\vec{u} = \lambda\,(-1, 2, 3), \qquad \vec{OQ} = \mu\,\vec{v} = \mu\,(2, 0, -1)

Como

O

A

son vértices opuestos, la regla del paralelogramo da

\vec{OP} + \vec{OQ} = \vec{OA}

\lambda\,(-1, 2, 3) + \mu\,(2, 0, -1) = (-4, 4, 7)

\begin{cases} -\lambda + 2\mu = -4 \\ \phantom{-}2\lambda \phantom{{}+2\mu} = \phantom{-}4 \\ \phantom{-}3\lambda - \phantom{2}\mu = \phantom{-}7 \end{cases}

De la segunda ecuación,

\lambda = 2

. Sustituyendo en la tercera:

\;6 - \mu = 7 \Longrightarrow \mu = -1

.

Comprobación en la primera (la que decide si el sistema es compatible):

\;-2 + 2(-1) = -4\;\checkmark

. El paralelogramo existe.

P = 2\,(-1,2,3) = (-2, 4, 6), \qquad Q = -1\,(2,0,-1) = (-2, 0, 1)

Los cuatro vértices son, en orden consecutivo,

O(0,0,0), \qquad P(-2, 4, 6), \qquad A(-4, 4, 7), \qquad Q(-2, 0, 1)

Verificación de que es un paralelogramo.

\vec{OP} = (-2,4,6) = \vec{QA} = A - Q = (-2, 4, 6) \quad \checkmark

\vec{OQ} = (-2,0,1) = \vec{PA} = A - P = (-2, 0, 1) \quad \checkmark

Además las dos diagonales,

\vec{OA}

\vec{PQ}

, se cortan en su punto medio

(-2, 2, 3{,}5)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a), no confundas "ortogonal a $\vec{u}$ y $\vec{v}$ " con "es el producto vectorial". $\vec{u}\times\vec{v}$ es uno de esos vectores, pero el enunciado impone que la primera coordenada valga $1$ , así que el que buscamos es un múltiplo concreto. Plantear los dos productos escalares es más directo y no deja lugar a dudas.

En b), "diagonal" es la palabra clave: $O$ y $A$ no son vértices consecutivos. Si los tomas como consecutivos, el planteamiento cambia por completo. Y como el sistema tiene tres ecuaciones y dos incógnitas, usa las tres: resolver con dos y no comprobar la tercera deja sin justificar que la figura exista.