Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Vectores y ángulos

Andalucía · 2012 · Reserva 5 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Se consideran los vectores

\vec{u} = (k,1,1)

\vec{v} = (2,1,-2)

\vec{w} = (1,1,k)

, donde

k

es un número real.

a) [0,75 puntos] Determina los valores de

k

para los que

\vec{u}

\vec{v}

\vec{w}

son linealmente dependientes.

b) [1 punto] Determina los valores de

k

para los que

\;\vec{u}+\vec{v}\;

\;\vec{v}-\vec{w}\;

son ortogonales.

c) [0,75 puntos] Para

k = -1

, determina aquellos vectores que son ortogonales a $\vec{v}$ y a $\vec{w}$ y tienen módulo 1.

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Resultado

\boxed{\;\text{a) } \det\bigl[\vec u,\vec v,\vec w\bigr] = k^{2}-1 = 0 \;\Longrightarrow\; k = \pm1\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec u+\vec v = (k+2,2,-1), \ \vec v-\vec w = (1,0,-2-k); \ \text{producto} = 2k+4 = 0 \Rightarrow k = -2\;}

\boxed{\;\text{c) } k=-1: \ \vec v\times\vec w = (1,0,1), \quad \lVert\cdot\rVert = \sqrt2\;}

\boxed{\;\pm\left(\frac{\sqrt2}{2},\; 0,\; \frac{\sqrt2}{2}\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres herramientas distintas, una por apartado:

a) Dependientes $\iff$ determinante nulo.
b) Ortogonales $\iff$ producto escalar nulo. Primero se calculan los dos vectores y luego se multiplican.
c) Un vector ortogonal a dos vectores dados es paralelo a su producto vectorial $\vec{v}\times\vec{w}$ . Para que además tenga módulo $1$ , se normaliza; hay dos soluciones (el unitario y su opuesto).

Desarrollo

a) Dependencia lineal.

\begin{vmatrix} k & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & k\end{vmatrix} = k\,(k+2)-2\,(k-1)+1\,(-2-1)

= k^{2}+2k-2k+2-3 = k^{2}-1

k^{2}-1 = 0 \;\Longrightarrow\; k = 1 \quad \text{o} \quad k = -1

\textbf{Linealmente dependientes} \iff k = \pm 1

b) Ortogonalidad de $\vec{u}+\vec{v}$ y $\vec{v}-\vec{w}$ .

\vec{u}+\vec{v} = (k+2,\; 2,\; -1) \qquad \vec{v}-\vec{w} = (1,\; 0,\; -2-k)

\bigl(\vec{u}+\vec{v}\bigr)\cdot\bigl(\vec{v}-\vec{w}\bigr) = (k+2)(1)+2\cdot0+(-1)(-2-k) = k+2+2+k = 2k+4

2k+4 = 0 \;\Longrightarrow\; k = -2

c) Vectores unitarios ortogonales a $\vec{v}$ y $\vec{w}$ (con $k=-1$ ).

\vec{v} = (2,\, 1,\, -2) \qquad \vec{w} = (1,\, 1,\, -1)

El producto vectorial.

\vec{v}\times\vec{w} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right|

\vec{i}: (1)(-1)-(-2)(1) = 1 \qquad \vec{j}: -\bigl[(2)(-1)-(-2)(1)\bigr] = 0 \qquad \vec{k}: (2)(1)-(1)(1) = 1

\vec{v}\times\vec{w} = (1,\, 0,\, 1)

(Comprobación: $(1,0,1)\cdot(2,1,-2) = 0$ $\checkmark$ y $(1,0,1)\cdot(1,1,-1) = 0$ $\checkmark$ )

Normalizando.

\;\lVert(1,0,1)\rVert = \sqrt2

\pm\frac{(1,0,1)}{\sqrt2} = \pm\left(\frac{\sqrt2}{2},\; 0,\; \frac{\sqrt2}{2}\right)

\textbf{Hay dos vectores: } \left(\frac{\sqrt2}{2},0,\frac{\sqrt2}{2}\right) \ \text{ y } \ \left(-\frac{\sqrt2}{2},0,-\frac{\sqrt2}{2}\right)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas las herramientas: dependencia lineal $\to$ determinante; ortogonalidad $\to$ producto escalar; ortogonal a dos vectores $\to$ producto vectorial.

En b), calcula primero los dos vectores suma y diferencia, y luego el producto escalar. Multiplicar antes de operar lleva a errores de signo.

En c) hay dos respuestas: el unitario y su opuesto. Dar solo uno cuesta la mitad del apartado. Y comprueba los dos productos escalares antes de normalizar.