Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2016 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Calcula la distancia entre las rectas dadas por las siguientes ecuaciones

r \equiv x = y = z \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = 3 + \mu \\ z = -\phantom{3 + {}}\mu\end{cases}

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Resultado

\boxed{\;r: R(0,0,0),\, \vec{u} = (1,1,1); \qquad s: S(1,3,0),\, \vec{v} = (1,1,-1)\;}

\boxed{\;\vec{u}\times\vec{v} = (-2,2,0) \neq \vec{0} \text{ y } \bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] = 4 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{se cruzan}\;}

\boxed{\;d(r,s) = \frac{4}{2\sqrt2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41\;}

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Estrategia

Antes de aplicar ninguna fórmula hay que establecer la posición relativa, porque cada caso tiene la suya:

Si se cortan, la distancia es $0$ .
Si son paralelas, se usa la fórmula punto-recta.
Si se cruzan, se usa

d(r,s) = \frac{\bigl|\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr]\bigr|}{\bigl\lVert\vec{u}\times\vec{v}\bigr\rVert}

Aquí los directores no son proporcionales y el producto mixto no se anula: las rectas se cruzan y se aplica la tercera fórmula.

Desarrollo

Elementos de las rectas. La primera,

x=y=z

, es la bisectriz del primer octante:

r: \quad R(0,\, 0,\, 0), \qquad \vec{u} = (1,\, 1,\, 1)

s: \quad S(1,\, 3,\, 0), \qquad \vec{v} = (1,\, 1,\, -1)

¿Paralelas?

(1,1,1)

(1,1,-1)

no son proporcionales (la tercera componente rompe la razón): no.

Producto vectorial.

\vec{u}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & \phantom{-}1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (1)(-1) - (1)(1) = -2 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(1)(-1) - (1)(1)\bigr] = 2 \qquad \vec{k}: \; (1)(1) - (1)(1) = 0

\vec{u}\times\vec{v} = (-2,\, 2,\, 0), \qquad \bigl\lVert\cdot\bigr\rVert = \sqrt{4+4+0} = 2\sqrt2

Producto mixto.

\vec{RS} = S - R = (1,\, 3,\, 0)

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & \phantom{-}1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & \phantom{-}0\end{array}\right|

Desarrollando por la primera fila:

= 1\,(0 + 3) - 1\,(0 + 1) + 1\,(3 - 1) = 3 - 1 + 2 = 4 \neq 0

Las rectas se cruzan, así que la distancia es

d(r,s) = \frac{|4|}{2\sqrt2} = \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41 \ \text{unidades}

(Simplificación: $\frac{2}{\sqrt2} = \frac{2\sqrt2}{2} = \sqrt2$ .)

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Consejo

Justifica la posición relativa antes de aplicar la fórmula. La del producto mixto solo vale para rectas que se cruzan; con rectas paralelas daría $\frac{0}{0}$ y con rectas que se cortan daría $0$ (correcto, pero sin explicar por qué).

Lee bien $x=y=z$ : es la forma continua con director $(1,1,1)$ y pasa por el origen. No hace falta parametrizarla ni convertirla a otra forma.

El producto mixto del numerador y el producto vectorial del denominador son la misma pareja de vectores: calcúlalos seguidos y reutiliza. Y simplifica al final: $\frac{4}{2\sqrt2} = \sqrt2$ queda mucho mejor que $\frac{4}{2{,}83}$ .