Opción B · Ejercicio 4. Sean los puntos A(2,\lambda,\lambda), B(-\lambda,2,0) y C(0,\lambda,\lambda-1). a) [1 punto] ¿Existe algún valor de \lambda\in\mathbb{R} para el que los puntos A, B y C estén alineados? Justifica la respuesta. b) [1,5 puntos] Para \lambda = 1 halla la ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices A, B y C. Calcula la distancia del origen de coordenadas a dicho plano.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2010 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Sean los puntos

A(2,\lambda,\lambda)

B(-\lambda,2,0)

C(0,\lambda,\lambda-1)

.

a) [1 punto] ¿Existe algún valor de

\lambda\in\mathbb{R}

para el que los puntos

A

B

C

estén alineados? Justifica la respuesta.

b) [1,5 puntos] Para

\lambda = 1

halla la ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices

A

B

C

. Calcula la distancia del origen de coordenadas a dicho plano.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (-\lambda-2,\,2-\lambda,\,-\lambda), \qquad \vec{AC} = (-2,\,0,\,-1)\;}

\boxed{\;\vec{AB}\times\vec{AC} = (\lambda-2,\; \lambda-2,\; 4-2\lambda) = \vec 0 \iff \lambda = 2\;}

\boxed{\;\lambda = 1: \ \vec n = (-1,-1,2) \;\Longrightarrow\; \pi\colon x+y-2z-1 = 0\;}

\boxed{\;d(O,\pi) = \frac{|-1|}{\sqrt{1+1+4}} = \frac{1}{\sqrt6} = \frac{\sqrt6}{6}\approx0{,}41\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Tres puntos están alineados $\iff$ los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ son proporcionales, es decir,

\vec{AB}\times\vec{AC} = \vec 0

Basta imponer que las tres componentes del producto vectorial se anulen a la vez.

b) Con $\lambda = 1$ , el plano pasa por $A$ y tiene normal $\vec{AB}\times\vec{AC}$ . La distancia del origen sale de la fórmula

d(O,\pi) = \frac{|D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}

para

\pi\colon Ax+By+Cz+D = 0

Desarrollo

Los vectores.

\vec{AB} = B-A = (-\lambda-2,\; 2-\lambda,\; -\lambda)

\vec{AC} = C-A = (-2,\; 0,\; -1)

a) El producto vectorial.

\vec{AB}\times\vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ -\lambda-2 & 2-\lambda & -\lambda \\ -2 & 0 & -1\end{array}\right|

\vec i: (2-\lambda)(-1)-(-\lambda)(0) = \lambda-2

\vec j: -\Bigl[(-\lambda-2)(-1)-(-\lambda)(-2)\Bigr] = -\bigl[\lambda+2-2\lambda\bigr] = \lambda-2

\vec k: (-\lambda-2)(0)-(2-\lambda)(-2) = 4-2\lambda

\vec{AB}\times\vec{AC} = \bigl(\lambda-2,\; \lambda-2,\; 4-2\lambda\bigr)

Se anula cuando las tres componentes son nulas:

\lambda-2 = 0 \quad \text{y} \quad 4-2\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = 2

\textbf{Sí: para } \lambda = 2 \textbf{ los tres puntos están alineados}

Comprobación con

\lambda = 2

\;A(2,2,2)

\;B(-2,2,0)

\;C(0,2,1)

\vec{AB} = (-4,\,0,\,-2) \qquad \vec{AC} = (-2,\,0,\,-1) \;\Longrightarrow\; \vec{AB} = 2\,\vec{AC} \;\checkmark

b) Con $\lambda = 1$ .

A(2,\,1,\,1) \qquad B(-1,\,2,\,0) \qquad C(0,\,1,\,0)

\vec{AB} = (-3,\,1,\,-1) \qquad \vec{AC} = (-2,\,0,\,-1)

El normal (sustituyendo

\lambda=1

en el producto ya calculado):

\vec n = (1-2,\; 1-2,\; 4-2) = (-1,\; -1,\; 2)

El plano, con

A(2,1,1)

-1\,(x-2)-1\,(y-1)+2\,(z-1) = 0

-x+2-y+1+2z-2 = 0 \;\Longrightarrow\; -x-y+2z+1 = 0

\pi\colon\; x+y-2z-1 = 0

Comprobaciones.

A(2,1,1): \ 2+1-2-1 = 0 \;\checkmark \qquad B(-1,2,0): \ -1+2-0-1 = 0 \;\checkmark

C(0,1,0): \ 0+1-0-1 = 0 \;\checkmark

La distancia del origen.

d(O,\pi) = \frac{|0+0-0-1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt6} = \frac{\sqrt6}{6} \approx 0{,}41

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Consejo

"Alineados" $\iff$ $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ proporcionales $\iff$ su producto vectorial es el vector cero. Y hay que exigir que se anulen las tres componentes a la vez.

Si $\vec{AB}\times\vec{AC} = \vec 0$ , no hay plano que contenga "el triángulo": los tres puntos están en una recta. Por eso el apartado b) usa $\lambda=1$ y no $\lambda=2$ .

Aprovecha el producto vectorial de a) para b): basta sustituir $\lambda=1$ en lugar de repetir el cálculo con los puntos concretos.