Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2015 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Los puntos

A(0,1,1)

B(2,1,3)

son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice es un punto de la recta

r

dada por

r \equiv \begin{cases} 2x+y = 0 \\ \phantom{2x+{}}z = 0\end{cases}

a) [1 punto] Calcula las coordenadas de los posibles puntos

C

r

para que el triángulo

ABC

tenga un ángulo recto en el vértice

A

.

b) [1,5 puntos] Calcula las coordenadas de los posibles puntos

D

r

para que el triángulo

ABD

tenga un área igual a

\sqrt2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r: (t,\,-2t,\,0); \qquad \vec{AB} = (2,0,2), \quad \vec{AC} = (t,\,-2t-1,\,-1)\;}

\boxed{\;\text{a) } \vec{AB}\cdot\vec{AC} = 2t-2 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 1: \quad C(1,\,-2,\,0)\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec{AB}\times\vec{AD} = (4t+2,\,2t+2,\,-4t-2); \quad \lVert\cdot\rVert^{2} = 36t^{2}+40t+12 = 8\;}

\boxed{\;9t^{2}+10t+1 = 0 \Rightarrow t = -1,\, -\tfrac19: \quad D_{1}\left(-\tfrac19,\tfrac29,0\right), \ D_{2}(-1,2,0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En los dos apartados se toma un punto genérico de $r$ y se impone una condición:

a) Ángulo recto en $A$ $\Rightarrow$ $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 0$ : ecuación de primer grado.
b) Área $= \frac12\bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{AD}\bigr\rVert = \sqrt2$ : al elevar al cuadrado queda una ecuación de segundo grado, y por eso el enunciado habla de "los posibles puntos" en plural.

Conviene trabajar con el cuadrado del módulo para no arrastrar raíces.

Desarrollo

La recta en paramétricas. De

z = 0

y = -2x

, tomando

x = t

r: \; (t,\; -2t,\; 0)

El lado fijo.

\vec{AB} = (2-0,\; 1-1,\; 3-1) = (2,\, 0,\, 2)

a) Ángulo recto en $A$ . Con

C(t,-2t,0)

\vec{AC} = (t,\; -2t-1,\; -1)

\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 2t+0-2 = 2t-2 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 1

C = (1,\, -2,\, 0)

Comprobación.

\;\vec{AC} = (1,-3,-1)

\;\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 2+0-2 = 0

\;\checkmark

b) Área $\sqrt2$ . Con

D(t,-2t,0)

\vec{AD} = (t,\,-2t-1,\,-1)

\vec{AB}\times\vec{AD} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 2 \\ t & -2t-1 & -1\end{array}\right|

\vec{i}: (0)(-1)-(2)(-2t-1) = 4t+2

\vec{j}: -\bigl[(2)(-1)-(2)(t)\bigr] = 2t+2

\vec{k}: (2)(-2t-1)-(0)(t) = -4t-2

\vec{AB}\times\vec{AD} = \bigl(4t+2,\; 2t+2,\; -4t-2\bigr)

El área al cuadrado.

\text{Área} = \frac12\bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{AD}\bigr\rVert = \sqrt2 \;\Longrightarrow\; \bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{AD}\bigr\rVert^{2} = \bigl(2\sqrt2\bigr)^{2} = 8

(4t+2)^{2}+(2t+2)^{2}+(4t+2)^{2} = 8

\bigl(16t^{2}+16t+4\bigr)+\bigl(4t^{2}+8t+4\bigr)+\bigl(16t^{2}+16t+4\bigr) = 36t^{2}+40t+12 = 8

36t^{2}+40t+4 = 0 \;\Longrightarrow\; 9t^{2}+10t+1 = 0

t = \frac{-10\pm\sqrt{100-36}}{18} = \frac{-10\pm8}{18} \;\Longrightarrow\; t = -\frac19 \quad \text{o} \quad t = -1

Los dos puntos.

D_{1} = \left(-\frac19,\; \frac29,\; 0\right) \qquad D_{2} = (-1,\, 2,\, 0)

Comprobación con $D_{2}(-1,2,0)$ .

\;\vec{AD_{2}} = (-1,1,-1)

\vec{AB}\times\vec{AD_{2}} = (0\cdot(-1)-2\cdot1,\; 2\cdot(-1)-2\cdot(-1),\; 2\cdot1-0\cdot(-1)) = (-2,\, 0,\, 2)

\text{Área} = \frac12\sqrt{4+0+4} = \frac{2\sqrt2}{2} = \sqrt2 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El ángulo recto está en $A$ : los vectores que hay que multiplicar son $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ , ambos saliendo de $A$ . Usar vectores de otro vértice (por ejemplo $\vec{BA}\cdot\vec{BC} = 0$ ) pone el ángulo recto en $B$ y plantea otra condición distinta.

En b), eleva al cuadrado desde el principio: trabajar con $\lVert\vec{AB}\times\vec{AD}\rVert^{2} = 8$ evita raíces y deja una ecuación de segundo grado limpia.

Que salgan dos puntos $D$ es lo esperable, y el enunciado lo anticipa al decir "los posibles puntos". Dar solo uno cuesta la mitad del apartado; comprueba al menos uno sustituyendo.