Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2020 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 4. Considera el plano

\pi \equiv x - y + az = 0

y la recta

r \equiv \begin{cases} 4x - 3y + 4z = 1 \\ 3x - 2y + \phantom{4}z = 0\end{cases}

a) [1,5 puntos] Halla

a

sabiendo que

\pi

es paralelo a

r

.

b) [1 punto] Determina el plano perpendicular a

r

que pasa por el punto

P(1,2,3)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{d}_{r} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = (5,\,8,\,1)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad (1,-1,a)\cdot(5,8,1) = 0 \;\Longrightarrow\; a = 3 \quad (\text{y } r \not\subset \pi)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad 5x + 8y + z - 24 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La recta viene como intersección de dos planos, así que lo primero es obtener su vector director: es perpendicular a los dos normales, luego se calcula con el producto vectorial

\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}

.

Con el director en la mano, todo es rutina:

a) Plano paralelo a recta $\Longleftrightarrow$ $\vec{n}_{\pi}\cdot\vec{d}_{r} = 0$ . Eso da una ecuación en $a$ . Conviene además comprobar que la recta no queda contenida en el plano, que sería el otro caso con producto escalar nulo.
b) Plano perpendicular a $r$ $\Longleftrightarrow$ su normal es $\vec{d}_{r}$ .

Desarrollo

Vector director de $r$ . Los normales de los dos planos son

\vec{n}_{1} = (4,-3,4)

\vec{n}_{2} = (3,-2,1)

\vec{d}_{r} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (-3)(1) - (4)(-2) = -3 + 8 = 5

\vec{j}: \; -\Bigl[(4)(1) - (4)(3)\Bigr] = -(4 - 12) = 8

\vec{k}: \; (4)(-2) - (-3)(3) = -8 + 9 = 1

\vec{d}_{r} = (5,\, 8,\, 1)

a) Condición de paralelismo. El normal del plano es

\vec{n}_{\pi} = (1, -1, a)

\vec{n}_{\pi}\cdot\vec{d}_{r} = 0 \;\Longrightarrow\; 5 - 8 + a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 3

Comprobación de que no está contenida. Un punto de

r

: haciendo

z = 0

\begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ 3x - 2y = 0\end{cases} \;\Longrightarrow\; y = \frac{3x}{2}, \quad 4x - \frac{9x}{2} = 1 \;\Longrightarrow\; -\frac{x}{2} = 1 \;\Longrightarrow\; x = -2,\; y = -3

El punto

Q(-2,-3,0)

está en

r

. Con

a = 3

-2 - (-3) + 3\cdot 0 = 1 \neq 0

Q \notin \pi

, así que

r

es paralela a

\pi

y no está contenida en él.

a = 3

b) Plano perpendicular a $r$ por $P(1,2,3)$ . Su vector normal es el director de la recta,

(5,8,1)

5\,(x - 1) + 8\,(y - 2) + 1\,(z - 3) = 0

5x + 8y + z - 5 - 16 - 3 = 0

5x + 8y + z - 24 = 0

Comprobación:

\;5\cdot 1 + 8\cdot 2 + 3 - 24 = 5 + 16 + 3 - 24 = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando una recta viene dada como intersección de dos planos, no despejes: el director sale directamente del producto vectorial de los dos normales. Es más rápido y no se arrastran fracciones.

Ojo a la diferencia entre los dos apartados: plano paralelo a la recta $\Rightarrow$ normal $\perp$ director (producto escalar cero); plano perpendicular a la recta $\Rightarrow$ normal $=$ director. Se confunden con facilidad porque las palabras "paralelo" y "perpendicular" se aplican a los objetos, no a los vectores.

Y en a) conviene añadir la comprobación de que $r\not\subset\pi$ : el producto escalar nulo también se cumple si la recta está dentro del plano, y entonces no serían paralelos.