Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2013 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera los puntos

A(1,2,1)

B(-1,0,2)

C(3,2,0)

y el plano

\pi

determinado por ellos.

a) [1,75 puntos] Halla la ecuación de la recta

r

que está contenida en $\pi$ y tal que

A

B

son simétricos respecto de $r$ .

b) [0,75 puntos] Calcula la distancia de

A

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (-2,-2,1), \ \vec{AC} = (2,0,-1), \ \vec{n} = (2,0,4)\sim(1,0,2): \ \pi \equiv x+2z-3 = 0\;}

\boxed{\;M\left(0,1,\tfrac32\right); \qquad \vec{u_{r}} = \vec{n}\times\vec{AB} = (4,-5,-2)\;}

\boxed{\;r \equiv (x,y,z) = \left(0,1,\tfrac32\right)+\lambda\,(4,-5,-2)\;}

\boxed{\;\text{b) } d(A,r) = \lVert\vec{AM}\rVert = \frac{\lVert\vec{AB}\rVert}{2} = \frac32\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Que

A

B

sean simétricos respecto de una recta contenida en el plano significa que

r

es la mediatriz del segmento $\overline{AB}$ dentro de $\pi$ . Es decir,

r

cumple tres cosas:

pasa por el punto medio $M$ de $\overline{AB}$ ,
es perpendicular a $\vec{AB}$ ,
está contenida en $\pi$ , luego es perpendicular al normal $\vec{n}$ .

Las dos últimas condiciones dan su dirección de golpe:

\vec{u_{r}} = \vec{n}\times\vec{AB}

Y para b) hay un atajo: como

M

es el pie de la perpendicular desde

A

d(A,r) = \lVert\vec{AM}\rVert = \frac{\lVert\vec{AB}\rVert}{2}

Desarrollo

El plano $\pi$ .

\vec{AB} = (-2,\, -2,\, 1) \qquad \vec{AC} = (2,\, 0,\, -1)

\vec{n} = \vec{AB}\times\vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & -1\end{array}\right|

\vec{i}: (-2)(-1)-(1)(0) = 2 \qquad \vec{j}: -\bigl[(-2)(-1)-(1)(2)\bigr] = 0 \qquad \vec{k}: 0-(-4) = 4

\vec{n} = (2,\, 0,\, 4) \;\sim\; (1,\, 0,\, 2)

Por

A(1,2,1)

\;1+2+D = 0 \Rightarrow D = -3

\pi \equiv x+2z-3 = 0

(Comprobación: $B(-1,0,2)$ : $-1+4-3 = 0\;\checkmark$ ; $C(3,2,0)$ : $3+0-3 = 0\;\checkmark$ )

a) La recta $r$ .

El punto medio:

M = \left(\frac{1-1}{2},\; \frac{2+0}{2},\; \frac{1+2}{2}\right) = \left(0,\; 1,\; \frac32\right)

La dirección:

\vec{u_{r}} = \vec{n}\times\vec{AB} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ -2 & -2 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: (0)(1)-(2)(-2) = 4 \qquad \vec{j}: -\bigl[(1)(1)-(2)(-2)\bigr] = -5 \qquad \vec{k}: (1)(-2)-0 = -2

\vec{u_{r}} = (4,\, -5,\, -2)

Comprobaciones.

\;\vec{u_{r}}\cdot\vec{AB} = -8+10-2 = 0\;\checkmark

(perpendicular a

\overline{AB}

) y

\;\vec{u_{r}}\cdot\vec{n} = 4+0-4 = 0\;\checkmark

(contenida en

\pi

). Además

M\in\pi

\;0+3-3 = 0\;\checkmark

r \equiv \begin{cases} x = \phantom{1+}4\lambda \\ y = 1-5\lambda \\ z = \frac32-2\lambda\end{cases}

b) La distancia de $A$ a $r$ . Como

M

es el pie de la perpendicular desde

A

\vec{AM} = \left(0-1,\; 1-2,\; \frac32-1\right) = \left(-1,\, -1,\, \frac12\right)

d(A,r) = \lVert\vec{AM}\rVert = \sqrt{1+1+\frac14} = \sqrt{\frac94} = \frac{3}{2}

Comprobación.

\;\lVert\vec{AB}\rVert = \sqrt{4+4+1} = 3

, y en efecto

\;\dfrac{\lVert\vec{AB}\rVert}{2} = \dfrac32

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

" $A$ y $B$ simétricos respecto de $r$ , con $r$ contenida en $\pi$ " define la recta por tres condiciones: pasa por el punto medio, es perpendicular a $\vec{AB}$ y vive en $\pi$ . Las dos últimas se resumen en $\vec{u_{r}} = \vec{n}\times\vec{AB}$ .

Comprueba las dos ortogonalidades ( $\vec{u_{r}}\cdot\vec{AB} = 0$ y $\vec{u_{r}}\cdot\vec{n} = 0$ ) y que $M$ está en $\pi$ . Son tres verificaciones rápidas que blindan el apartado a).

Para b) no hace falta la fórmula punto-recta: $M$ ya es el pie de la perpendicular, así que la distancia es la mitad de $\lVert\vec{AB}\rVert$ .