Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera el punto

P(2,-1,3)

y el plano

\pi

de ecuación

3x + 2y + z = 5

.

a) [1,75 puntos] Calcula el punto simétrico de

P

respecto de

\pi

.

b) [0,75 puntos] Calcula la distancia de

P

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{n} = (3,2,1); \qquad s \equiv (2+3t,\; -1+2t,\; 3+t)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad 14t + 2 = 0 \Rightarrow t = -\tfrac17 \Rightarrow M\left(\tfrac{11}{7}, -\tfrac97, \tfrac{20}{7}\right); \qquad P' = 2M - P = \left(\tfrac87,\, -\tfrac{11}{7},\, \tfrac{19}{7}\right)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad d(P,\pi) = \frac{|6-2+3-5|}{\sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{7} \approx 0{,}53\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las dos construcciones más clásicas del bloque, y ambas parten del vector normal

\vec{n} = (3,2,1)

a) Recta perpendicular a $\pi$ por $P$ (director $=\vec{n}$ ), se busca el pie $M$ sustituyendo en la ecuación del plano, y el simétrico es $P' = 2M - P$ .
b) Fórmula directa punto-plano, escribiendo antes $\pi$ en la forma $Ax+By+Cz+D = 0$ .

Como comprobación mutua, la distancia de b) debe ser la mitad de la distancia entre

P

P'

Desarrollo

Datos. Escribimos el plano con todo en un miembro:

\pi \equiv 3x + 2y + z - 5 = 0, \qquad \vec{n} = (3,\, 2,\, 1), \qquad \lVert\vec{n}\rVert = \sqrt{9+4+1} = \sqrt{14}

a) Recta perpendicular por $P$ .

s \equiv (x,y,z) = (2,-1,3) + t\,(3,2,1) = \bigl(2+3t,\; -1+2t,\; 3+t\bigr)

Pie de la perpendicular. Sustituyendo en

\pi

3\,(2+3t) + 2\,(-1+2t) + (3+t) - 5 = 0

6 + 9t - 2 + 4t + 3 + t - 5 = 0 \;\Longrightarrow\; 14t + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -\frac{1}{7}

M = \left(2 - \frac37,\; -1 - \frac27,\; 3 - \frac17\right) = \left(\frac{11}{7},\; -\frac{9}{7},\; \frac{20}{7}\right)

(Comprobación: $3\cdot\tfrac{11}{7} + 2\cdot\left(-\tfrac97\right) + \tfrac{20}{7} = \tfrac{33 - 18 + 20}{7} = \tfrac{35}{7} = 5\;\checkmark$ )

Simétrico.

M

es el punto medio de

P

P'

, luego

P' = 2M - P

P' = \left(\frac{22}{7} - 2,\; -\frac{18}{7} + 1,\; \frac{40}{7} - 3\right) = \left(\frac{8}{7},\; -\frac{11}{7},\; \frac{19}{7}\right)

(También se llega duplicando el parámetro: en $t = 2\cdot\left(-\tfrac17\right) = -\tfrac27$ , la recta $s$ da exactamente ese punto.)

b) Distancia de $P$ al plano.

d(P,\pi) = \frac{\bigl|3\cdot 2 + 2\cdot(-1) + 3 - 5\bigr|}{\sqrt{14}} = \frac{|6 - 2 + 3 - 5|}{\sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{14}}

Racionalizando:

d(P,\pi) = \frac{2\sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{14}}{7} \approx 0{,}53 \ \text{unidades}

Comprobación cruzada. El vector

\vec{PP'} = P' - P = \left(-\tfrac67,\, -\tfrac47,\, -\tfrac27\right) = -\tfrac27\,(3,2,1)

, cuyo módulo es

\frac{2}{7}\sqrt{14} = \frac{2\sqrt{14}}{7} = 2\,d(P,\pi) \quad \checkmark

exactamente el doble de la distancia, como tenía que ser.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Pasa todo a un miembro antes de aplicar la fórmula de la distancia: con $3x+2y+z = 5$ el término independiente es $D = -5$ , no $+5$ . Es el error de signo más frecuente del apartado b).

En a), $M$ es el pie, no el simétrico. El último paso, $P' = 2M - P$ , es lo que separa un ejercicio bien hecho de uno a medias.

La comprobación cruzada es gratis y muy convincente: $\lVert\vec{PP'}\rVert$ debe ser exactamente el doble de $d(P,\pi)$ . Si no cuadra, hay un error en alguno de los dos apartados.