Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2018 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera las rectas

r

s

dadas por

r \equiv \begin{cases} x + \phantom{2}y = z + 4 \\ x + 2y = 7\end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x - 2 = 0 \\ y + 3 = 0\end{cases}

a) [1 punto] Estudia y determina la posición relativa de

r

s

.

b) [1,5 puntos] Determina la recta perpendicular común a

r

y a

s

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r: R(1,3,0),\, \vec{u} = (2,-1,1); \qquad s: S(2,-3,0),\, \vec{v} = (0,0,1)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] = 11 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \text{se cruzan}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{w} = \vec{u}\times\vec{v} = (-1,-2,0); \qquad p \equiv \begin{cases} 2x - y - 5z + 1 = 0 \\ 2x - y - 7 = 0\end{cases}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La recta

s

es especialmente cómoda:

x=2

y=-3

dejan la

z

libre, así que es una recta vertical, paralela al eje

OZ

, con director

(0,0,1)

.

Para

r

, el director sale del producto vectorial de los normales de los dos planos.

En b), la perpendicular común a dos rectas que se cruzan se construye así:

Su dirección es $\vec{w} = \vec{u}\times\vec{v}$ (perpendicular a las dos).
Es la intersección de dos planos: el que contiene a $r$ y a $\vec{w}$ , y el que contiene a $s$ y a $\vec{w}$ .

Desarrollo

Elementos de $r$ . Escribiendo

r \equiv \{x + y - z = 4,\; x + 2y = 7\}

, los normales son

\vec{n}_{1} = (1,1,-1)

\vec{n}_{2} = (1,2,0)

\vec{u} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & \phantom{-}0\end{array}\right| = (2,\, -1,\, 1)

Un punto: con

z=0

queda

x+y = 4

x+2y = 7

, luego

y = 3

x = 1

R(1,\, 3,\, 0)

Elementos de $s$ .

S(2,\, -3,\, 0), \qquad \vec{v} = (0,\, 0,\, 1)

a) Posición relativa. Los directores

(2,-1,1)

(0,0,1)

no son proporcionales.

\vec{RS} = S - R = (1,\, -6,\, 0)

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} 2 & 0 & \phantom{-}1 \\ -1 & 0 & -6 \\ 1 & 1 & \phantom{-}0\end{array}\right|

Desarrollando por la segunda columna (solo un elemento no nulo, en posición

(3,2)

, con signo

-

= -1\cdot\left|\begin{array}{cc} \phantom{-}2 & \phantom{-}1 \\ -1 & -6\end{array}\right| = -1\,(-12 + 1) = 11 \neq 0

r \text{ y } s \textbf{ se cruzan}

b) Perpendicular común.

Dirección.

\vec{w} = \vec{u}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & \phantom{-}0 & 1\end{array}\right| = (-1,\, -2,\, 0)

Plano que contiene a $r$ y a $\vec{w}$ . Su normal es

\vec{u}\times\vec{w} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \phantom{-}2 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 0\end{array}\right| = (2,\, -1,\, -5)

Pasando por

R(1,3,0)

2\,(x-1) - (y-3) - 5z = 0 \;\Longrightarrow\; 2x - y - 5z + 1 = 0

Plano que contiene a $s$ y a $\vec{w}$ . Su normal es

\vec{v}\times\vec{w} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & 1 \\ -1 & -2 & 0\end{array}\right| = (2,\, -1,\, 0)

Pasando por

S(2,-3,0)

2\,(x-2) - (y+3) = 0 \;\Longrightarrow\; 2x - y - 7 = 0

La perpendicular común es la intersección de ambos:

p \equiv \begin{cases} 2x - y - 5z + 1 = 0 \\ 2x - y \phantom{{}- 5z} - 7 = 0\end{cases}

Restando las dos ecuaciones se ve enseguida que

-5z + 8 = 0

, es decir

z = \tfrac85

, y de la segunda

y = 2x - 7

. En paramétricas:

p \equiv \left(t,\; 2t - 7,\; \frac{8}{5}\right), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación. El director

(1,2,0)

es proporcional a

\vec{w} = (-1,-2,0)\;\checkmark

, y

\vec{w}\cdot\vec{u} = -2 + 2 + 0 = 0 \;\checkmark \qquad \vec{w}\cdot\vec{v} = 0 + 0 + 0 = 0 \;\checkmark

Además corta a las dos rectas: a

s

\left(2,\, -3,\, \tfrac85\right)

(con

t = 2

) y a

r

\left(\tfrac{21}{5},\, \tfrac75,\, \tfrac85\right)

(con

t = \tfrac{21}{5}

), que cumple

x + y - z = 4

x + 2y = 7\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Reconoce $s$ de un vistazo: $x=2$ , $y=-3$ con $z$ libre es una recta vertical de director $(0,0,1)$ . No hace falta ningún producto vectorial para ella.

La perpendicular común no es simplemente "una recta con dirección $\vec{u}\times\vec{v}$ ": tiene que cortar a las dos. Por eso se construye como intersección de los dos planos, cada uno conteniendo una recta y la dirección $\vec{w}$ . Ese es el método estándar y el que se espera en el examen.

Comprueba al final que $\vec{w}$ es ortogonal a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$ : dos productos escalares que deben dar cero. Es la verificación más rápida de todo el ejercicio.