Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2021 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque B). Considera el punto

P(1, 0, 1)

y el plano

\pi \equiv x - y + z + 1 = 0

.

a) [1,25 puntos] Halla el simétrico del punto

P

respecto al plano

\pi

.

b) [1,25 puntos] Halla la distancia del punto

P

al plano

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Valor del plano en } P: \; 1 - 0 + 1 + 1 = 3; \qquad \lVert\vec{n}\rVert = \sqrt{3}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad P'(-1,\, 2,\, -1), \quad \text{con pie de la perpendicular } M(0,1,0)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad d(P, \pi) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \approx 1{,}73\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados comparten el mismo cálculo intermedio: el valor del plano en $P$ , es decir,

x_{0} - y_{0} + z_{0} + 1

. Merece la pena calcularlo una vez y reutilizarlo.

Para la distancia, ese valor dividido entre $\lVert\vec{n}\rVert$ .
Para el simétrico, la fórmula

P' = P - 2\,\frac{x_{0} - y_{0} + z_{0} + 1}{\lVert\vec{n}\rVert^{2}}\,\vec{n}

que no es más que la versión abreviada de "trazar la perpendicular, hallar el pie y duplicar".

Desarrollo

Vector normal y datos previos.

\vec{n} = (1,\, -1,\, 1), \qquad \bigl\lVert\vec{n}\bigr\rVert = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}, \qquad \bigl\lVert\vec{n}\bigr\rVert^{2} = 3

Valor del plano en $P(1,0,1)$ .

1 - 0 + 1 + 1 = 3

a) Punto simétrico.

P' = P - 2\cdot\frac{3}{3}\,\vec{n} = (1,\, 0,\, 1) - 2\,(1,\, -1,\, 1)

P' = (1 - 2,\; 0 + 2,\; 1 - 2) = (-1,\, 2,\, -1)

Comprobaciones.

El punto medio de $P$ y $P'$ es $\;M = \left(\dfrac{1-1}{2}, \dfrac{0+2}{2}, \dfrac{1-1}{2}\right) = (0,\, 1,\, 0)$ , y pertenece al plano: $\;0 - 1 + 0 + 1 = 0\;\checkmark$
El vector $\vec{PP'} = (-2,\, 2,\, -2) = -2\,(1,-1,1)$ es paralelo a $\vec{n}\;\checkmark$

(Por el método largo: la recta perpendicular por $P$ es $(1+\mu,\, -\mu,\, 1+\mu)$ ; su corte con el plano da $(1+\mu) + \mu + (1+\mu) + 1 = 0 \Longrightarrow 3\mu + 3 = 0 \Longrightarrow \mu = -1$ , es decir el pie $M(0,1,0)$ ; y $P' = 2M - P = (-1,2,-1)$ . El mismo resultado.)

b) Distancia de $P$ al plano.

d(P, \pi) = \frac{\bigl|x_{0} - y_{0} + z_{0} + 1\bigr|}{\bigl\lVert\vec{n}\bigr\rVert} = \frac{|3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \approx 1{,}73 \ \text{unidades}

(Coherente con a): la distancia de $P$ a su simétrico debe ser el doble, y en efecto $\lVert\vec{PP'}\rVert = \lVert(-2,2,-2)\rVert = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\;\checkmark$ )

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Consejo

Haz primero el apartado b), aunque el enunciado lo ponga después: el número $|x_{0}-y_{0}+z_{0}+1| = 3$ es el mismo que necesitas para el simétrico, y calcularlo una sola vez ahorra trabajo y evita discrepancias entre los dos apartados.

Y simplifica $\frac{3}{\sqrt{3}}$ a $\sqrt{3}$ : es la forma en la que se espera ver la respuesta. Racionalizar (o reconocer que $\frac{n}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}$ ) es un detalle pequeño, pero forma parte de la "expresión correcta de los procesos" que puntúan los criterios de corrección.