Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2011 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Dados el punto

P(1,1,-1)

y la recta

r

de ecuaciones

r \equiv \begin{cases} x+z = 1 \\ y+z = 0\end{cases}

a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene a

r

y pasa por

P

.

b) [1,5 puntos] Halla la ecuación de la recta contenida en el plano

y+z = 0

, que es perpendicular a $r$ y pasa por

P

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (-1,-1,1), \qquad A(1,0,0)\in r\;}

\boxed{\;\text{a) } \vec{n} = \vec{u}\times\vec{AP} = (0,-1,-1) \;\Longrightarrow\; \pi\colon y+z = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec{w} = \vec{n_{\pi}}\times\vec{u} = (2,-1,1), \quad \vec{w}\cdot\vec{u} = \vec{w}\cdot\vec{n_{\pi}} = 0\;}

\boxed{\;s\colon (x,y,z) = (1,1,-1)+t\,(2,-1,1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Un plano que contiene a $r$ queda determinado por un punto de $r$ y dos direcciones: el director $\vec{u}$ de la recta y el vector que va de ese punto a $P$ . El normal es su producto vectorial. (Sorpresa: el plano resultante es uno de los dos que definen $r$ .)
b) La recta buscada debe cumplir dos condiciones sobre su director $\vec{w}$ :

- contenida en

\pi\colon y+z=0

\Rightarrow

\vec{w}\perp\vec{n_{\pi}}

,
- perpendicular a

r

\Rightarrow

\vec{w}\perp\vec{u}

.

Perpendicular a dos vectores

\Rightarrow

\vec{w} = \vec{n_{\pi}}\times\vec{u}

Desarrollo

El director de $r$ . Los normales son

\vec{n_{1}} = (1,0,1)

\vec{n_{2}} = (0,1,1)

\vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: (0)(1)-(1)(1) = -1 \qquad \vec{j}: -\bigl[(1)(1)-(1)(0)\bigr] = -1 \qquad \vec{k}: (1)(1)-(0)(0) = 1

\vec{u} = (-1,\, -1,\, 1)

Un punto de $r$ . Con

z = 0

\;x = 1

\;y = 0

, luego

A(1,0,0)

.

a) El plano por $r$ y $P$ .

\vec{AP} = P-A = (0,\, 1,\, -1)

\vec{n} = \vec{u}\times\vec{AP} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right|

\vec{i}: (-1)(-1)-(1)(1) = 0 \qquad \vec{j}: -\bigl[(-1)(-1)-(1)(0)\bigr] = -1 \qquad \vec{k}: (-1)(1)-(-1)(0) = -1

\vec{n} = (0,\, -1,\, -1) \;\sim\; (0,\, 1,\, 1)

Con el punto

A(1,0,0)

0\,(x-1)+1\,(y-0)+1\,(z-0) = 0 \;\Longrightarrow\; y+z = 0

¡Es uno de los dos planos que definen $r$ ! Y tiene sentido: ese plano contiene a

r

por construcción, y

P

también está en él, porque

1+(-1) = 0

\checkmark

\pi\colon\; y+z = 0

b) La recta perpendicular a $r$ dentro de $y+z=0$ . Su director

\vec{w}

debe ser perpendicular a

\vec{n_{\pi}} = (0,1,1)

(para estar en el plano) y a

\vec{u} = (-1,-1,1)

(para ser perpendicular a

r

\vec{w} = \vec{n_{\pi}}\times\vec{u} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: (1)(1)-(1)(-1) = 2 \qquad \vec{j}: -\bigl[(0)(1)-(1)(-1)\bigr] = -1 \qquad \vec{k}: (0)(-1)-(1)(-1) = 1

\vec{w} = (2,\, -1,\, 1)

Comprobaciones.

\vec{w}\cdot\vec{u} = -2+1+1 = 0 \;\checkmark \qquad \vec{w}\cdot\vec{n_{\pi}} = 0-1+1 = 0 \;\checkmark

P(1,1,-1) \in \pi: \; 1-1 = 0 \;\checkmark

La recta.

s \equiv (x,y,z) = (1,\,1,\,-1)+t\,(2,\,-1,\,1)

s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+1}{1}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que en a) salga uno de los planos del enunciado no es un error: significa que $P$ ya estaba en él. Compruébalo ( $1-1=0$ ) y dilo; es una respuesta perfectamente válida.

En b), traduce cada condición a una perpendicularidad del director: "contenida en $\pi$ " $\Rightarrow \vec{w}\perp\vec{n_{\pi}}$ ; "perpendicular a $r$ " $\Rightarrow \vec{w}\perp\vec{u}$ . Dos perpendicularidades $\Rightarrow$ producto vectorial.

No confundas "recta contenida en el plano" con "recta perpendicular al plano". Si el director fuese $\vec{n_{\pi}}$ , la recta saldría del plano en vez de vivir dentro de él.