Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2013 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Sea

r

la recta que pasa por el punto

(1,0,0)

y tiene como vector dirección

(a,2a,1)

, y sea

s

la recta dada por

s \equiv \begin{cases} -2x+y = -2 \\ -a\,x+z = \phantom{-}0\end{cases}

a) [1 punto] Calcula los valores de

a

para los que

r

s

son paralelas.

b) [1,5 puntos] Calcula, para

a = 1

, la distancia entre

r

s

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = (a,2a,1); \qquad \vec{v} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (1,2,a)\;}

\boxed{\;\text{a) } \vec{u}\times\vec{v} = \bigl(2a^{2}-2,\; 1-a^{2},\; 0\bigr) = \vec0 \;\Longleftrightarrow\; a = \pm1\;}

\boxed{\;\text{b) } a=1: \ \vec{u} = \vec{v} = (1,2,1); \ A(1,0,0), \ B(1,0,1), \ \vec{AB}\times\vec{u} = (-2,1,0)\;}

\boxed{\;d(r,s) = \frac{\sqrt5}{\sqrt6} = \frac{\sqrt{30}}{6} \approx 0{,}91\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Paralelas $\iff$ los directores son proporcionales, es decir, $\vec{u}\times\vec{v} = \vec{0}$ . El director de $s$ es el producto vectorial de los normales de sus dos planos (y también depende de $a$ , ojo).
b) Con $a=1$ las rectas resultan paralelas, así que la distancia entre ellas es la de un punto de una a la otra:

d(r,s) = \frac{\bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{u}\bigr\rVert}{\lVert\vec{u}\rVert}

(No hace falta el producto mixto: eso es para rectas que se cruzan.)

Desarrollo

Los directores.

\vec{u} = (a,\, 2a,\, 1) \qquad \text{(director de } r)

Para

s

, con normales

\vec{n_{1}} = (-2,1,0)

\vec{n_{2}} = (-a,0,1)

\vec{v} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 0 \\ -a & 0 & 1\end{array}\right| = (1,\, 2,\, a)

a) Paralelismo.

\vec{u}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 2a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}\right| = \bigl(2a^{2}-2,\; 1-a^{2},\; 0\bigr)

\vec{u}\times\vec{v} = \vec{0} \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} 2a^{2}-2 = 0 \\ 1-a^{2} = 0\end{cases} \;\Longleftrightarrow\; a^{2} = 1

a = 1 \quad \text{o} \quad a = -1

(Y no son coincidentes: el punto $A(1,0,0)$ de $r$ cumple $-2x+y = -2$ , pero en la segunda ecuación de $s$ da $-a+0 = -a\neq0$ ; así que $A\notin s$ y, para $a = \pm1$ , las rectas son paralelas distintas.)

b) La distancia para $a = 1$ . Entonces

\vec{u} = (1,\, 2,\, 1) = \vec{v}

(Las rectas son efectivamente paralelas.)

Puntos.

\;A(1,0,0)\in r

. Para

s

(con

a=1

-2x+y = -2

-x+z = 0

), tomando

x=1

y = 0

z = 1

B(1,\,0,\,1)

(Comprobación: $-2+0 = -2$ $\checkmark$ y $-1+1 = 0$ $\checkmark$ )

El producto vectorial.

\vec{AB} = (0,\, 0,\, 1)

\vec{AB}\times\vec{u} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right| = (0\cdot1-1\cdot2,\; 1\cdot1-0\cdot1,\; 0-0) = (-2,\, 1,\, 0)

(No es nulo, luego $B\notin r$ : las rectas son paralelas distintas.)

La distancia.

d(r,s) = \frac{\lVert(-2,1,0)\rVert}{\lVert(1,2,1)\rVert} = \frac{\sqrt5}{\sqrt6} = \frac{\sqrt{30}}{6} \approx 0{,}91

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El director de $s$ también depende de $a$ : es $(1,2,a)$ . Tratarlo como un vector fijo es el error que arruina el apartado a).

Entre rectas paralelas la distancia es punto-recta: no uses el producto mixto (valdría $0$ ) ni busques la perpendicular común. Ese método es solo para rectas que se cruzan.

Comprueba que $\vec{AB}\times\vec{u}\neq\vec0$ : eso confirma que $B$ no está en $r$ , es decir, que las rectas son paralelas distintas y la distancia no es cero.