Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Vectores y ángulos

Andalucía · 2020 · Septiembre

Enunciado

Ejercicio 8. Considera los vectores

\vec{u} = (2,1,0)

\vec{v} = (1,0,-1)

\vec{w} = (a, b, 1)

.

a) [1,5 puntos] Halla

a

b

sabiendo que los tres vectores son linealmente dependientes y que

\vec{w}

es ortogonal a

\vec{u}

.

b) [1 punto] Para

a = 1

, calcula el valor o valores de

b

para que el volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores sea de

6

unidades cúbicas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\bigr] = 2b - a - 1\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad a = -\frac{1}{5}, \qquad b = \frac{2}{5}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad |2b - 2| = 6 \;\Longrightarrow\; b = 4 \quad \text{o} \quad b = -2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados usan el mismo determinante, el producto mixto

[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]

, pero con condiciones distintas:

En a), "linealmente dependientes" significa que el producto mixto se anula. Junto con la ortogonalidad ( $\vec{w}\cdot\vec{u} = 0$ ) hay dos ecuaciones para dos incógnitas.
En b), el volumen del paralelepípedo es el valor absoluto del producto mixto (sin dividir entre $6$ : eso es para el tetraedro). Al haber valor absoluto salen dos valores de $b$ .

Merece la pena calcular el producto mixto una sola vez, dejándolo en función de

a

b

Desarrollo

El producto mixto, en general.

\bigl[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ a & b & 1 \end{array}\right|

Desarrollando por la primera fila:

= 2\,\bigl(0\cdot 1 - (-1)\cdot b\bigr) - 1\,\bigl(1\cdot 1 - (-1)\cdot a\bigr) + 0 = 2b - (1 + a)

\bigl[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\bigr] = 2b - a - 1

a) Las dos condiciones.

Ortogonalidad de $\vec{w}$ y $\vec{u}$ :

\vec{w}\cdot\vec{u} = 2a + b + 0 = 0 \;\Longrightarrow\; b = -2a

Dependencia lineal:

2b - a - 1 = 0

Sustituyendo

b = -2a

-4a - a - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; -5a = 1 \;\Longrightarrow\; a = -\frac{1}{5}, \qquad b = \frac{2}{5}

Comprobación:

\vec{w} = \left(-\frac15, \frac25, 1\right)

cumple

\vec{w}\cdot\vec{u} = -\frac25 + \frac25 = 0\;\checkmark

y el producto mixto vale

\frac45 + \frac15 - 1 = 0\;\checkmark

.

b) Caso $a = 1$ . Ahora

\vec{w} = (1, b, 1)

y el producto mixto queda

\bigl[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\bigr] = 2b - 1 - 1 = 2b - 2

Volumen del paralelepípedo:

V = \bigl|2b - 2\bigr| = 6

Caso 1:

\;2b - 2 = 6 \Longrightarrow b = 4

Caso 2:

\;2b - 2 = -6 \Longrightarrow b = -2

b = 4 \qquad \text{o} \qquad b = -2

(Comprobación: con $b = 4$ , el producto mixto vale $6$ ; con $b = -2$ , vale $-6$ . En ambos casos el volumen es $6\;\checkmark$ )

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Linealmente dependientes" y "volumen nulo" son lo mismo: el producto mixto se anula. Y el volumen del paralelepípedo es $\bigl|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\bigr|$ , sin dividir entre $6$ ; ese factor es el del tetraedro. Confundirlos daría $b = 19$ o $b = -17$ .

Calcula el producto mixto una sola vez dejando $a$ y $b$ dentro: sirve para los dos apartados. Rehacerlo en b) con $a=1$ ya sustituido funciona igual, pero es trabajo repetido.