Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2021 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque B). Considera los puntos

B(-1, 0, -1)

C(0, 1, -3)

y la recta

r \equiv \begin{cases} x = -\lambda \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}

a) [1,25 puntos] Calcula un punto que esté en

r

y equidiste de

B

C

.

b) [1,25 puntos] Siendo

D(1, -1, -2)

, calcula el área del triángulo con vértices en los puntos

B

C

D

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \bigl\lVert\vec{PB}\bigr\rVert^{2} = \bigl\lVert\vec{PC}\bigr\rVert^{2} \;\Longrightarrow\; \lambda = -1, \quad P(1,\, -1,\, -2)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{BC}\times\vec{BD} = (-3,-3,-3), \qquad \text{Área} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}60 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) hay dos caminos y conviene conocer los dos:

Con distancias: tomar el punto genérico $P(\lambda)$ de la recta, igualar $\lVert\vec{PB}\rVert^{2} = \lVert\vec{PC}\rVert^{2}$ (mejor los cuadrados, para no arrastrar raíces) y despejar $\lambda$ .
Con el plano mediador: hallar el plano que equidista de $B$ y $C$ y cortarlo con $r$ .

Desarrollo el primero, que es más directo, y el resultado tiene una sorpresa agradable: el punto que sale es exactamente el

D

del apartado b).

En b), área del triángulo con el producto vectorial de siempre.

Desarrollo

a) Punto genérico de la recta.

P(\lambda) = \bigl(-\lambda,\; 1 + 2\lambda,\; -1 + \lambda\bigr)

Cuadrados de las distancias.

\vec{PB} = B - P = \bigl(-1 + \lambda,\; -1 - 2\lambda,\; -\lambda\bigr)

\bigl\lVert\vec{PB}\bigr\rVert^{2} = (\lambda - 1)^{2} + (1 + 2\lambda)^{2} + \lambda^{2} = \lambda^{2} - 2\lambda + 1 + 4\lambda^{2} + 4\lambda + 1 + \lambda^{2}

= 6\lambda^{2} + 2\lambda + 2

\vec{PC} = C - P = \bigl(\lambda,\; -2\lambda,\; -2 - \lambda\bigr)

\bigl\lVert\vec{PC}\bigr\rVert^{2} = \lambda^{2} + 4\lambda^{2} + (\lambda + 2)^{2} = 5\lambda^{2} + \lambda^{2} + 4\lambda + 4 = 6\lambda^{2} + 4\lambda + 4

Igualando.

6\lambda^{2} + 2\lambda + 2 = 6\lambda^{2} + 4\lambda + 4 \;\Longrightarrow\; 2\lambda + 2 = 4\lambda + 4

-2 = 2\lambda \;\Longrightarrow\; \lambda = -1

El punto.

P(-1) = \bigl(1,\; 1 - 2,\; -1 - 1\bigr) = (1,\, -1,\, -2)

(Que es precisamente el punto $D$ del apartado b): el enunciado está encadenado.)

Comprobación.

\bigl\lVert\vec{PB}\bigr\rVert^{2} = (-1-1)^{2} + (0+1)^{2} + (-1+2)^{2} = 4 + 1 + 1 = 6

\bigl\lVert\vec{PC}\bigr\rVert^{2} = (0-1)^{2} + (1+1)^{2} + (-3+2)^{2} = 1 + 4 + 1 = 6 \quad \checkmark

Las dos distancias valen

\sqrt{6}

.

b) Área del triángulo $BCD$ .

\vec{BC} = C - B = (1,\, 1,\, -2), \qquad \vec{BD} = D - B = (2,\, -1,\, -1)

\vec{BC}\times\vec{BD} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{array}\right|

\vec{i}: \; (1)(-1) - (-2)(-1) = -1 - 2 = -3

\vec{j}: \; -\Bigl[(1)(-1) - (-2)(2)\Bigr] = -\bigl[-1 + 4\bigr] = -3

\vec{k}: \; (1)(-1) - (1)(2) = -1 - 2 = -3

\vec{BC}\times\vec{BD} = (-3,\, -3,\, -3), \qquad \bigl\lVert\vec{BC}\times\vec{BD}\bigr\rVert = 3\sqrt{3}

\text{Área} = \frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}60 \ \text{unidades cuadradas}

(El triángulo es isósceles, con $\lVert\vec{DB}\rVert = \lVert\vec{DC}\rVert = \sqrt{6}$ , como acabamos de ver en a).)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Iguala los cuadrados de las distancias, no las distancias. Así te ahorras las raíces y, además, los términos en $\lambda^{2}$ se cancelan solos (aquí los dos valen $6\lambda^{2}$ ), dejando una ecuación de primer grado.

Fíjate en que el punto de a) coincide con el $D$ de b): los apartados están encadenados y eso es una comprobación gratis. Si te sale un punto distinto de $D$ , revisa las cuentas antes de seguir.