Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2008 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Dados los puntos

A(1,1,0)

B(1,1,2)

C(1,-1,1)

:

a) [1,5 puntos] Comprueba que no están alineados y calcula el área del triángulo que determinan.

b) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene al punto $A$ y es perpendicular a la recta determinada por $B$ y $C$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (0,0,2), \qquad \vec{AC} = (0,-2,1)\;}

\boxed{\;\vec{AB}\times\vec{AC} = (4,0,0) \neq \vec 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{no alineados}\;}

\boxed{\;\text{Área} = \frac{\bigl|(4,0,0)\bigr|}{2} = \frac42 = 2 \ \text{u}^{2}\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec{BC} = (0,-2,-1) \text{ es el normal}: \ \pi\colon 2y+z-2 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Tres puntos están alineados $\iff$ $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ son proporcionales, es decir, $\vec{AB}\times\vec{AC} = \vec 0$ . Y ese mismo producto vectorial da el área:

\text{Área} = \frac12\bigl|\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr|

Dos pájaros de un tiro.

b) "Perpendicular a la recta $BC$ " $\Rightarrow$ el normal del plano es $\vec{BC}$ .

(Observa que los tres puntos tienen $x = 1$ : están en el plano $x = 1$ , lo que simplifica la geometría.)

Desarrollo

Los vectores.

\vec{AB} = B-A = (0,\; 0,\; 2) \qquad \vec{AC} = C-A = (0,\; -2,\; 1)

a) ¿Están alineados?

\vec{AB}\times\vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 1\end{array}\right|

\vec i: (0)(1)-(2)(-2) = 4 \qquad \vec j: -\bigl[(0)(1)-(2)(0)\bigr] = 0 \qquad \vec k: (0)(-2)-(0)(0) = 0

\vec{AB}\times\vec{AC} = (4,\, 0,\, 0) \neq \vec 0

\textbf{No están alineados}

(También se ve directamente: $\vec{AB} = (0,0,2)$ y $\vec{AC} = (0,-2,1)$ no son proporcionales, porque la segunda componente es $0$ en uno y $-2$ en el otro.)

El área.

\bigl|\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr| = \sqrt{16+0+0} = 4

\text{Área} = \frac{4}{2} = 2 \ \text{u}^{2}

(Se puede comprobar geométricamente: el triángulo está en el plano $x=1$ , tiene un cateto vertical $AB$ de longitud $2$ y la distancia horizontal de $C$ a la recta $AB$ es $2$ ; área $=\frac{2\cdot2}{2} = 2$ $\checkmark$ )

b) El plano por $A$ perpendicular a la recta $BC$ .

\vec{BC} = C-B = (1-1,\; -1-1,\; 1-2) = (0,\; -2,\; -1)

Ese vector es el normal del plano. Con

A(1,1,0)

0\,(x-1)-2\,(y-1)-1\,(z-0) = 0

-2y+2-z = 0 \;\Longrightarrow\; 2y+z-2 = 0

Comprobaciones.

A(1,1,0): \ 2+0-2 = 0 \;\checkmark

El normal es $\vec{BC}$ (salvo signo):

\;(0,2,1) = -\vec{BC}

\;\checkmark

Y $B$ no está en el plano (la recta lo corta, no lo contiene):

\;2+2-2 = 2 \neq 0

\;\checkmark

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Consejo

El mismo producto vectorial resuelve los dos objetivos de a): si no es $\vec 0$ , los puntos no están alineados, y su módulo partido por $2$ es el área. No hace falta calcular nada más.

"Perpendicular a la recta $BC$ " $\Rightarrow$ el normal es $\vec{BC}$ . No lo confundas con "contiene a $BC$ ", donde $\vec{BC}$ sería una dirección del plano.

Fíjate en que los tres puntos tienen $x = 1$ : el triángulo vive en el plano $x=1$ y el área se puede comprobar con la fórmula elemental base por altura entre dos.