Opción B · Ejercicio 4. Considera un rectángulo de vértices consecutivos A, B, C y D siendo A(1,1,0) y B(2,2,1). Sabiendo que la recta r que contiene a los puntos C y D pasa por el origen de coordenadas, se pide: a) [0,75 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas de r. b) [1 punto] Calcula el área del triángulo ABC. c) [0,75 puntos] Determina las coordenadas del punto D.

Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2016 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera un rectángulo de vértices consecutivos

A

B

C

D

siendo

A(1,1,0)

B(2,2,1)

. Sabiendo que la recta

r

que contiene a los puntos

C

D

pasa por el origen de coordenadas, se pide:

a) [0,75 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas de

r

.

b) [1 punto] Calcula el área del triángulo

ABC

.

c) [0,75 puntos] Determina las coordenadas del punto

D

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Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (1,1,1); \qquad \text{a) } r: \ (x,y,z) = (t,\,t,\,t)\;}

\boxed{\;\vec{BC}\cdot\vec{AB} = 3t-5 = 0 \Rightarrow C\left(\tfrac53,\tfrac53,\tfrac53\right)\;}

\boxed{\;\text{b) Área}(ABC) = \tfrac12\lVert(1,-1,0)\rVert = \frac{\sqrt2}{2}\;}

\boxed{\;\text{c) } D = A + \vec{BC} = \left(\tfrac23,\, \tfrac23,\, \tfrac23\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo que hay que explotar son las propiedades del rectángulo:

$\overline{CD}$ es el lado opuesto a $\overline{AB}$ , luego $r$ es paralela a $\vec{AB}$ . Con eso y el origen, la recta queda determinada.
$C$ está en $r$ y cumple $\vec{BC}\perp\vec{AB}$ (los lados consecutivos de un rectángulo son perpendiculares). Un producto escalar da $C$ .
$D$ se obtiene sin más cálculo: $\vec{AD} = \vec{BC}$ , porque $ABCD$ es un paralelogramo.

Desarrollo

El lado $\vec{AB}$ .

\vec{AB} = (2-1,\; 2-1,\; 1-0) = (1,\, 1,\, 1)

a) La recta $r$ . Contiene a

C

D

, es decir, el lado opuesto a

\overline{AB}

: por tanto es paralela a $\vec{AB}$ . Y pasa por el origen:

r: \; \begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = t\end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}

b) El vértice $C$ . Está en

r

, luego

C(t,t,t)

para algún

t

. Como el ángulo en

B

es recto:

\vec{BC} = (t-2,\; t-2,\; t-1) \qquad \vec{BC}\cdot\vec{AB} = 0

(t-2)+(t-2)+(t-1) = 3t-5 = 0 \;\Longrightarrow\; t = \frac{5}{3}

C\left(\frac53,\; \frac53,\; \frac53\right) \qquad \vec{BC} = \left(-\frac13,\, -\frac13,\, \frac23\right)

El área del triángulo $ABC$ . Es rectángulo en

B

, así que es media base por altura:

\lVert\vec{AB}\rVert = \sqrt{3} \qquad \lVert\vec{BC}\rVert = \sqrt{\frac19+\frac19+\frac49} = \sqrt{\frac69} = \frac{\sqrt6}{3}

\text{Área} = \frac{1}{2}\cdot\sqrt3\cdot\frac{\sqrt6}{3} = \frac{\sqrt{18}}{6} = \frac{3\sqrt2}{6} = \frac{\sqrt2}{2}

Comprobación con el producto vectorial.

\vec{AB}\times\vec{BC} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -\frac13 & -\frac13 & \frac23\end{array}\right| = (1,\, -1,\, 0)

\text{Área} = \frac{1}{2}\lVert(1,-1,0)\rVert = \frac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}707 \quad \checkmark

c) El vértice $D$ . En el rectángulo

ABCD

se cumple

\vec{AD} = \vec{BC}

D = A + \vec{BC} = (1,1,0)+\left(-\frac13,-\frac13,\frac23\right) = \left(\frac23,\; \frac23,\; \frac23\right)

Comprobaciones.

$D\in r$ : es el punto de parámetro $t = \frac23$ $\;\checkmark$
$\vec{DC} = \left(\frac53-\frac23,\ \frac53-\frac23,\ \frac53-\frac23\right) = (1,1,1) = \vec{AB}$ $\;\checkmark$
$\vec{AD}\cdot\vec{AB} = -\frac13-\frac13+\frac23 = 0$ : ángulo recto en $A$ $\;\checkmark$

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La clave está en la palabra consecutivos: $A$ , $B$ , $C$ , $D$ recorren el rectángulo en orden, así que $\overline{CD}$ es el lado opuesto a $\overline{AB}$ (y por tanto paralelo), mientras que $\overline{BC}$ es perpendicular a $\overline{AB}$ .

Para $C$ no busques "el punto de $r$ más cercano" ni nada parecido: la condición es $\vec{BC}\cdot\vec{AB} = 0$ , un producto escalar que da una ecuación de primer grado en $t$ .

$D$ no requiere repetir el proceso. En cualquier paralelogramo $ABCD$ se cumple $\vec{AD} = \vec{BC}$ , así que $D = A + \vec{BC}$ . Y comprueba después que $D$ está en $r$ : si no lo está, algo ha fallado antes.